Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4466 / 3935
↖ ↑ ↗
← N  7.057282°
E 16.259766°		 ← 4 849.47 m → N  7.057282°
E 16.303711°		 →
↑
4 849.67 m
↓
↑
4 849.67 m
↓
N  7.013668°
E 16.259766°		 ← 4 849.93 m →
23 519 441 m²		 N  7.013668°
E 16.303711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54522705078125 y=0.48040771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54522705078125 × 213)
    floor (0.54522705078125 × 8192)
    floor (4466.5)     		tx = 4466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.48040771484375 × 213)
    floor (0.48040771484375 × 8192)
    floor (3935.5)     		ty = 3935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4466 / 3935 ti = "13/4466/3935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4466/3935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4466 ÷ 213
    4466 ÷ 8192     		x = 0.545166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3935 ÷ 213
    3935 ÷ 8192     		y = 0.4803466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545166015625 × 2 - 1) × π
    0.09033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.28378645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4803466796875 × 2 - 1) × π
    0.039306640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.123485453421265
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28378645} λ = 0.28378645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.123485453421265))-π/2
    2×atan(1.13143354593521)-π/2
    2×0.84698457004682-π/2
    1.69396914009364-1.57079632675     		φ = 0.12317281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28378645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.259766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12317281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.057282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4466 KachelY 3935 0.28378645 0.12317281 16.259766 7.057282
    Oben rechts KachelX + 1 4467 KachelY 3935 0.28455344 0.12317281 16.303711 7.057282
    Unten links KachelX 4466 KachelY + 1 3936 0.28378645 0.12241160 16.259766 7.013668
    Unten rechts KachelX + 1 4467 KachelY + 1 3936 0.28455344 0.12241160 16.303711 7.013668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12317281-0.12241160) × R
    0.000761209999999998 × 6371000     		dl = 4849.66890999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12317281-0.12241160) × R
    0.000761209999999998 × 6371000     		dr = 4849.66890999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28378645-0.28455344) × cos(0.12317281) × R
    0.000766989999999967 × 0.992423815242002 × 6371000     		do = 4849.47231401604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28378645-0.28455344) × cos(0.12241160) × R
    0.000766989999999967 × 0.992517051180543 × 6371000     		du = 4849.9279108041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12317281)-sin(0.12241160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992423815242002-0.992517051180543)×R²
    abs(0.28455344-0.28378645)×9.32359385411585e-05×R²
    0.000766989999999967×9.32359385411585e-05×6371000²
    0.000766989999999967×9.32359385411585e-05×40589641000000     		ar = 23519440.9936555m²