Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4466 / 13094
↖ ↑ ↗
← S 72.646486°
W 81.870117°		 ← 728.73 m → S 72.646486°
W 81.848145°		 →
↑
728.59 m
↓
↑
728.59 m
↓
S 72.653038°
W 81.870117°		 ← 728.46 m →
530 846 m²		 S 72.653038°
W 81.848145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.272613525390625 y=0.799224853515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.272613525390625 × 214)
    floor (0.272613525390625 × 16384)
    floor (4466.5)     		tx = 4466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799224853515625 × 214)
    floor (0.799224853515625 × 16384)
    floor (13094.5)     		ty = 13094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4466 / 13094 ti = "14/4466/13094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4466/13094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4466 ÷ 214
    4466 ÷ 16384     		x = 0.2725830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13094 ÷ 214
    13094 ÷ 16384     		y = 0.7991943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2725830078125 × 2 - 1) × π
    -0.454833984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.42890310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7991943359375 × 2 - 1) × π
    -0.598388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.87989345550012
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.42890310} λ = -1.42890310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87989345550012))-π/2
    2×atan(0.1526063642595)-π/2
    2×0.15143797934944-π/2
    0.30287595869888-1.57079632675     		φ = -1.26792037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.42890310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.870117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26792037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.646486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4466 KachelY 13094 -1.42890310 -1.26792037 -81.870117 -72.646486
    Oben rechts KachelX + 1 4467 KachelY 13094 -1.42851961 -1.26792037 -81.848145 -72.646486
    Unten links KachelX 4466 KachelY + 1 13095 -1.42890310 -1.26803473 -81.870117 -72.653038
    Unten rechts KachelX + 1 4467 KachelY + 1 13095 -1.42851961 -1.26803473 -81.848145 -72.653038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26792037--1.26803473) × R
    0.000114360000000202 × 6371000     		dl = 728.587560001287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26792037--1.26803473) × R
    0.000114360000000202 × 6371000     		dr = 728.587560001287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.42890310--1.42851961) × cos(-1.26792037) × R
    0.000383490000000153 × 0.298266487199349 × 6371000     		do = 728.729092887086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.42890310--1.42851961) × cos(-1.26803473) × R
    0.000383490000000153 × 0.298157330614927 × 6371000     		du = 728.462399905599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26792037)-sin(-1.26803473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298266487199349-0.298157330614927)×R²
    abs(-1.42851961--1.42890310)×0.000109156584422287×R²
    0.000383490000000153×0.000109156584422287×6371000²
    0.000383490000000153×0.000109156584422287×40589641000000     		ar = 530845.797672683m²