Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44656 / 94631
↖ ↑ ↗
← S 62.153958°
W 57.348633°		 ← 142.63 m → S 62.153958°
W 57.345886°		 →
↑
142.65 m
↓
↑
142.65 m
↓
S 62.155241°
W 57.348633°		 ← 142.63 m →
20 346 m²		 S 62.155241°
W 57.345886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340702056884766 y=0.721981048583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340702056884766 × 217)
    floor (0.340702056884766 × 131072)
    floor (44656.5)     		tx = 44656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721981048583984 × 217)
    floor (0.721981048583984 × 131072)
    floor (94631.5)     		ty = 94631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44656 / 94631 ti = "17/44656/94631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44656/94631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44656 ÷ 217
    44656 ÷ 131072     		x = 0.3406982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94631 ÷ 217
    94631 ÷ 131072     		y = 0.721977233886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3406982421875 × 2 - 1) × π
    -0.318603515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.00092246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721977233886719 × 2 - 1) × π
    -0.443954467773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.39472409444553
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00092246} λ = -1.00092246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39472409444553))-π/2
    2×atan(0.247901424312416)-π/2
    2×0.243002559873679-π/2
    0.486005119747358-1.57079632675     		φ = -1.08479121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00092246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.348633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08479121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.153958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44656 KachelY 94631 -1.00092246 -1.08479121 -57.348633 -62.153958
    Oben rechts KachelX + 1 44657 KachelY 94631 -1.00087453 -1.08479121 -57.345886 -62.153958
    Unten links KachelX 44656 KachelY + 1 94632 -1.00092246 -1.08481360 -57.348633 -62.155241
    Unten rechts KachelX + 1 44657 KachelY + 1 94632 -1.00087453 -1.08481360 -57.345886 -62.155241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08479121--1.08481360) × R
    2.23900000000388e-05 × 6371000     		dl = 142.646690000247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08479121--1.08481360) × R
    2.23900000000388e-05 × 6371000     		dr = 142.646690000247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00092246--1.00087453) × cos(-1.08479121) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.46709732545257 × 6371000     		do = 142.633787507855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00092246--1.00087453) × cos(-1.08481360) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.4670775279652 × 6371000     		du = 142.627742106923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08479121)-sin(-1.08481360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46709732545257-0.4670775279652)×R²
    abs(-1.00087453--1.00092246)×1.97974873695772e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.97974873695772e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.97974873695772e-05×40589641000000     		ar = 20345.8064928046m²