Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 44654 / 94630
↖ ↑ ↗
← S 62.152675°
W 57.354126°		 ← 142.67 m → S 62.152675°
W 57.351379°		 →
↑
142.65 m
↓
↑
142.65 m
↓
S 62.153958°
W 57.354126°		 ← 142.66 m →
20 351 m²		 S 62.153958°
W 57.351379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340686798095703 y=0.721973419189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340686798095703 × 217)
    floor (0.340686798095703 × 131072)
    floor (44654.5)     		tx = 44654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721973419189453 × 217)
    floor (0.721973419189453 × 131072)
    floor (94630.5)     		ty = 94630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44654 / 94630 ti = "17/44654/94630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44654/94630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44654 ÷ 217
    44654 ÷ 131072     		x = 0.340682983398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94630 ÷ 217
    94630 ÷ 131072     		y = 0.721969604492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.340682983398438 × 2 - 1) × π
    -0.318634033203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.00101834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721969604492188 × 2 - 1) × π
    -0.443939208984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.39467615754591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00101834} λ = -1.00101834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39467615754591))-π/2
    2×atan(0.247913308222945)-π/2
    2×0.243013755709814-π/2
    0.486027511419628-1.57079632675     		φ = -1.08476882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00101834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.354126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08476882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.152675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44654 KachelY 94630 -1.00101834 -1.08476882 -57.354126 -62.152675
    Oben rechts KachelX + 1 44655 KachelY 94630 -1.00097040 -1.08476882 -57.351379 -62.152675
    Unten links KachelX 44654 KachelY + 1 94631 -1.00101834 -1.08479121 -57.354126 -62.153958
    Unten rechts KachelX + 1 44655 KachelY + 1 94631 -1.00097040 -1.08479121 -57.351379 -62.153958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08476882--1.08479121) × R
    2.23899999998167e-05 × 6371000     		dl = 142.646689998832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08476882--1.08479121) × R
    2.23899999998167e-05 × 6371000     		dr = 142.646689998832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00101834--1.00097040) × cos(-1.08476882) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.467117122705778 × 6371000     		do = 142.669592868989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00101834--1.00097040) × cos(-1.08479121) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.46709732545257 × 6371000     		du = 142.663546278278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08476882)-sin(-1.08479121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.467117122705778-0.46709732545257)×R²
    abs(-1.00097040--1.00101834)×1.97972532078317e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97972532078317e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97972532078317e-05×40589641000000     		ar = 20350.9139239257m²