Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44651 / 94635
↖ ↑ ↗
← S 62.159089°
W 57.362366°		 ← 142.64 m → S 62.159089°
W 57.359619°		 →
↑
142.65 m
↓
↑
142.65 m
↓
S 62.160372°
W 57.362366°		 ← 142.63 m →
20 347 m²		 S 62.160372°
W 57.359619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340663909912109 y=0.722011566162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340663909912109 × 217)
    floor (0.340663909912109 × 131072)
    floor (44651.5)     		tx = 44651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722011566162109 × 217)
    floor (0.722011566162109 × 131072)
    floor (94635.5)     		ty = 94635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44651 / 94635 ti = "17/44651/94635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44651/94635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44651 ÷ 217
    44651 ÷ 131072     		x = 0.340660095214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94635 ÷ 217
    94635 ÷ 131072     		y = 0.722007751464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.340660095214844 × 2 - 1) × π
    -0.318679809570312 × 3.1415926535     		Λ = -1.00116215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722007751464844 × 2 - 1) × π
    -0.444015502929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.39491584204401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00116215} λ = -1.00116215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39491584204401))-π/2
    2×atan(0.247853894366666)-π/2
    2×0.242957781274369-π/2
    0.485915562548738-1.57079632675     		φ = -1.08488076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00116215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.362366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08488076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.159089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44651 KachelY 94635 -1.00116215 -1.08488076 -57.362366 -62.159089
    Oben rechts KachelX + 1 44652 KachelY 94635 -1.00111421 -1.08488076 -57.359619 -62.159089
    Unten links KachelX 44651 KachelY + 1 94636 -1.00116215 -1.08490315 -57.362366 -62.160372
    Unten rechts KachelX + 1 44652 KachelY + 1 94636 -1.00111421 -1.08490315 -57.359619 -62.160372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08488076--1.08490315) × R
    2.23899999998167e-05 × 6371000     		dl = 142.646689998832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08488076--1.08490315) × R
    2.23899999998167e-05 × 6371000     		dr = 142.646689998832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00116215--1.00111421) × cos(-1.08488076) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.467018142940699 × 6371000     		do = 142.639361901656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00116215--1.00111421) × cos(-1.08490315) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.466998344516887 × 6371000     		du = 142.633314953412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08488076)-sin(-1.08490315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.467018142940699-0.466998344516887)×R²
    abs(-1.00111421--1.00116215)×1.97984238117233e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.97984238117233e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.97984238117233e-05×40589641000000     		ar = 20346.601551038m²