Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 44650 / 94634
↖ ↑ ↗
← S 62.157807°
W 57.365113°		 ← 142.65 m → S 62.157807°
W 57.362366°		 →
↑
142.58 m
↓
↑
142.58 m
↓
S 62.159089°
W 57.365113°		 ← 142.64 m →
20 338 m²		 S 62.159089°
W 57.362366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340656280517578 y=0.722003936767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340656280517578 × 217)
    floor (0.340656280517578 × 131072)
    floor (44650.5)     		tx = 44650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722003936767578 × 217)
    floor (0.722003936767578 × 131072)
    floor (94634.5)     		ty = 94634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44650 / 94634 ti = "17/44650/94634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44650/94634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44650 ÷ 217
    44650 ÷ 131072     		x = 0.340652465820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94634 ÷ 217
    94634 ÷ 131072     		y = 0.722000122070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.340652465820312 × 2 - 1) × π
    -0.318695068359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.00121009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722000122070312 × 2 - 1) × π
    -0.444000244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.39486790514439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00121009} λ = -1.00121009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39486790514439))-π/2
    2×atan(0.247865775998703)-π/2
    2×0.242968975212441-π/2
    0.485937950424882-1.57079632675     		φ = -1.08485838
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00121009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.365113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08485838 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.157807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44650 KachelY 94634 -1.00121009 -1.08485838 -57.365113 -62.157807
    Oben rechts KachelX + 1 44651 KachelY 94634 -1.00116215 -1.08485838 -57.362366 -62.157807
    Unten links KachelX 44650 KachelY + 1 94635 -1.00121009 -1.08488076 -57.365113 -62.159089
    Unten rechts KachelX + 1 44651 KachelY + 1 94635 -1.00116215 -1.08488076 -57.362366 -62.159089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08485838--1.08488076) × R
    2.23800000000995e-05 × 6371000     		dl = 142.582980000634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08485838--1.08488076) × R
    2.23800000000995e-05 × 6371000     		dr = 142.582980000634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00121009--1.00116215) × cos(-1.08485838) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.467037932288016 × 6371000     		do = 142.645406077044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00121009--1.00116215) × cos(-1.08488076) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.467018142940699 × 6371000     		du = 142.639361900995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08485838)-sin(-1.08488076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.467037932288016-0.467018142940699)×R²
    abs(-1.00116215--1.00121009)×1.97893473173338e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97893473173338e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97893473173338e-05×40589641000000     		ar = 20338.3761844005m²