Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4465 / 3937
↖ ↑ ↗
← N  6.970049°
E 16.215821°		 ← 4 850.38 m → N  6.970049°
E 16.259766°		 →
↑
4 850.62 m
↓
↑
4 850.62 m
↓
N  6.926427°
E 16.215821°		 ← 4 850.83 m →
23 528 469 m²		 N  6.926427°
E 16.259766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54510498046875 y=0.48065185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54510498046875 × 213)
    floor (0.54510498046875 × 8192)
    floor (4465.5)     		tx = 4465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.48065185546875 × 213)
    floor (0.48065185546875 × 8192)
    floor (3937.5)     		ty = 3937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4465 / 3937 ti = "13/4465/3937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4465/3937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4465 ÷ 213
    4465 ÷ 8192     		x = 0.5450439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3937 ÷ 213
    3937 ÷ 8192     		y = 0.4805908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5450439453125 × 2 - 1) × π
    0.090087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.28301946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4805908203125 × 2 - 1) × π
    0.038818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.121951472633423
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28301946} λ = 0.28301946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.121951472633423))-π/2
    2×atan(1.12969927911909)-π/2
    2×0.846223319074984-π/2
    1.69244663814997-1.57079632675     		φ = 0.12165031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28301946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.215821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12165031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.970049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4465 KachelY 3937 0.28301946 0.12165031 16.215821 6.970049
    Oben rechts KachelX + 1 4466 KachelY 3937 0.28378645 0.12165031 16.259766 6.970049
    Unten links KachelX 4465 KachelY + 1 3938 0.28301946 0.12088895 16.215821 6.926427
    Unten rechts KachelX + 1 4466 KachelY + 1 3938 0.28378645 0.12088895 16.259766 6.926427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12165031-0.12088895) × R
    0.000761360000000003 × 6371000     		dl = 4850.62456000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12165031-0.12088895) × R
    0.000761360000000003 × 6371000     		dr = 4850.62456000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28301946-0.28378645) × cos(0.12165031) × R
    0.000766990000000023 × 0.992609721722415 × 6371000     		do = 4850.38074478549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28301946-0.28378645) × cos(0.12088895) × R
    0.000766990000000023 × 0.992701825426611 × 6371000     		du = 4850.83080891803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12165031)-sin(0.12088895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992609721722415-0.992701825426611)×R²
    abs(0.28378645-0.28301946)×9.21037041957673e-05×R²
    0.000766990000000023×9.21037041957673e-05×6371000²
    0.000766990000000023×9.21037041957673e-05×40589641000000     		ar = 23528468.6486355m²