Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4464 / 5775
↖ ↑ ↗
← N 75.098458°
W130.957031°		 ← 314.14 m → N 75.098458°
W130.946045°		 →
↑
314.15 m
↓
↑
314.15 m
↓
N 75.095633°
W130.957031°		 ← 314.20 m →
98 697 m²		 N 75.095633°
W130.946045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.136245727539062 y=0.176254272460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.136245727539062 × 215)
    floor (0.136245727539062 × 32768)
    floor (4464.5)     		tx = 4464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.176254272460938 × 215)
    floor (0.176254272460938 × 32768)
    floor (5775.5)     		ty = 5775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4464 / 5775 ti = "15/4464/5775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4464/5775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4464 ÷ 215
    4464 ÷ 32768     		x = 0.13623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5775 ÷ 215
    5775 ÷ 32768     		y = 0.176239013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13623046875 × 2 - 1) × π
    -0.7275390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.28563137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.176239013671875 × 2 - 1) × π
    0.64752197265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.0342502722767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28563137} λ = -2.28563137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0342502722767))-π/2
    2×atan(7.64651717001069)-π/2
    2×1.44075584295602-π/2
    2.88151168591205-1.57079632675     		φ = 1.31071536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28563137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.957031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31071536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.098458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4464 KachelY 5775 -2.28563137 1.31071536 -130.957031 75.098458
    Oben rechts KachelX + 1 4465 KachelY 5775 -2.28543963 1.31071536 -130.946045 75.098458
    Unten links KachelX 4464 KachelY + 1 5776 -2.28563137 1.31066605 -130.957031 75.095633
    Unten rechts KachelX + 1 4465 KachelY + 1 5776 -2.28543963 1.31066605 -130.946045 75.095633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31071536-1.31066605) × R
    4.93100000000801e-05 × 6371000     		dl = 314.15401000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31071536-1.31066605) × R
    4.93100000000801e-05 × 6371000     		dr = 314.15401000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28563137--2.28543963) × cos(1.31071536) × R
    0.000191739999999996 × 0.257158796548558 × 6371000     		do = 314.138895759548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28563137--2.28543963) × cos(1.31066605) × R
    0.000191739999999996 × 0.257206447899179 × 6371000     		du = 314.197105483915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31071536)-sin(1.31066605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.257158796548558-0.257206447899179)×R²
    abs(-2.28543963--2.28563137)×4.76513506215692e-05×R²
    0.000191739999999996×4.76513506215692e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.76513506215692e-05×40589641000000     		ar = 98697.1372294502m²