Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4464 / 3940
↖ ↑ ↗
← N  6.839170°
E 16.171875°		 ← 4 851.79 m → N  6.839170°
E 16.215821°		 →
↑
4 851.96 m
↓
↑
4 851.96 m
↓
N  6.795535°
E 16.171875°		 ← 4 852.23 m →
23 541 756 m²		 N  6.795535°
E 16.215821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54498291015625 y=0.48101806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54498291015625 × 213)
    floor (0.54498291015625 × 8192)
    floor (4464.5)     		tx = 4464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.48101806640625 × 213)
    floor (0.48101806640625 × 8192)
    floor (3940.5)     		ty = 3940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4464 / 3940 ti = "13/4464/3940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4464/3940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4464 ÷ 213
    4464 ÷ 8192     		x = 0.544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3940 ÷ 213
    3940 ÷ 8192     		y = 0.48095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544921875 × 2 - 1) × π
    0.08984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.28225246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48095703125 × 2 - 1) × π
    0.0380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.11965050145166
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28225246} λ = 0.28225246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.11965050145166))-π/2
    2×atan(1.12710286191991)-π/2
    2×0.845081177436787-π/2
    1.69016235487357-1.57079632675     		φ = 0.11936603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28225246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.171875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11936603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.839170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4464 KachelY 3940 0.28225246 0.11936603 16.171875 6.839170
    Oben rechts KachelX + 1 4465 KachelY 3940 0.28301946 0.11936603 16.215821 6.839170
    Unten links KachelX 4464 KachelY + 1 3941 0.28225246 0.11860446 16.171875 6.795535
    Unten rechts KachelX + 1 4465 KachelY + 1 3941 0.28301946 0.11860446 16.215821 6.795535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11936603-0.11860446) × R
    0.000761570000000003 × 6371000     		dl = 4851.96247000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11936603-0.11860446) × R
    0.000761570000000003 × 6371000     		dr = 4851.96247000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28225246-0.28301946) × cos(0.11936603) × R
    0.000767000000000018 × 0.992884330283033 × 6371000     		do = 4851.78587433498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28225246-0.28301946) × cos(0.11860446) × R
    0.000767000000000018 × 0.992974732210316 × 6371000     		du = 4852.22762850556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11936603)-sin(0.11860446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992884330283033-0.992974732210316)×R²
    abs(0.28301946-0.28225246)×9.04019272832679e-05×R²
    0.000767000000000018×9.04019272832679e-05×6371000²
    0.000767000000000018×9.04019272832679e-05×40589641000000     		ar = 23541755.7999077m²