Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44632 / 95640
↖ ↑ ↗
← S 63.421031°
W 57.414551°		 ← 136.66 m → S 63.421031°
W 57.411804°		 →
↑
136.66 m
↓
↑
136.66 m
↓
S 63.422260°
W 57.414551°		 ← 136.65 m →
18 675 m²		 S 63.422260°
W 57.411804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340518951416016 y=0.729679107666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340518951416016 × 217)
    floor (0.340518951416016 × 131072)
    floor (44632.5)     		tx = 44632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729679107666016 × 217)
    floor (0.729679107666016 × 131072)
    floor (95640.5)     		ty = 95640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44632 / 95640 ti = "17/44632/95640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44632/95640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44632 ÷ 217
    44632 ÷ 131072     		x = 0.34051513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95640 ÷ 217
    95640 ÷ 131072     		y = 0.72967529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34051513671875 × 2 - 1) × π
    -0.3189697265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.00207295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72967529296875 × 2 - 1) × π
    -0.4593505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44309242616217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00207295} λ = -1.00207295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44309242616217))-π/2
    2×atan(0.23619620879762)-π/2
    2×0.231945263445839-π/2
    0.463890526891679-1.57079632675     		φ = -1.10690580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00207295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.414551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10690580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.421031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44632 KachelY 95640 -1.00207295 -1.10690580 -57.414551 -63.421031
    Oben rechts KachelX + 1 44633 KachelY 95640 -1.00202501 -1.10690580 -57.411804 -63.421031
    Unten links KachelX 44632 KachelY + 1 95641 -1.00207295 -1.10692725 -57.414551 -63.422260
    Unten rechts KachelX + 1 44633 KachelY + 1 95641 -1.00202501 -1.10692725 -57.411804 -63.422260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10690580--1.10692725) × R
    2.14499999999784e-05 × 6371000     		dl = 136.657949999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10690580--1.10692725) × R
    2.14499999999784e-05 × 6371000     		dr = 136.657949999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00207295--1.00202501) × cos(-1.10690580) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.447430854583208 × 6371000     		do = 136.656899859819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00207295--1.00202501) × cos(-1.10692725) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.447411671347841 × 6371000     		du = 136.651040805962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10690580)-sin(-1.10692725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447430854583208-0.447411671347841)×R²
    abs(-1.00202501--1.00207295)×1.91832353662602e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91832353662602e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91832353662602e-05×40589641000000     		ar = 18674.8514457109m²