Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4463 / 4765
↖ ↑ ↗
← S 28.188244°
E 16.127929°		 ← 4 306.96 m → S 28.188244°
E 16.171875°		 →
↑
4 306.16 m
↓
↑
4 306.16 m
↓
S 28.226970°
E 16.127929°		 ← 4 305.40 m →
18 543 081 m²		 S 28.226970°
E 16.171875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54486083984375 y=0.58172607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54486083984375 × 213)
    floor (0.54486083984375 × 8192)
    floor (4463.5)     		tx = 4463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58172607421875 × 213)
    floor (0.58172607421875 × 8192)
    floor (4765.5)     		ty = 4765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4463 / 4765 ti = "13/4463/4765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4463/4765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4463 ÷ 213
    4463 ÷ 8192     		x = 0.5447998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4765 ÷ 213
    4765 ÷ 8192     		y = 0.5816650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5447998046875 × 2 - 1) × π
    0.089599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.28148547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5816650390625 × 2 - 1) × π
    -0.163330078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.513116573533081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28148547} λ = 0.28148547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.513116573533081))-π/2
    2×atan(0.598627003473291)-π/2
    2×0.539409332451589-π/2
    1.07881866490318-1.57079632675     		φ = -0.49197766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28148547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.127929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49197766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.188244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4463 KachelY 4765 0.28148547 -0.49197766 16.127929 -28.188244
    Oben rechts KachelX + 1 4464 KachelY 4765 0.28225246 -0.49197766 16.171875 -28.188244
    Unten links KachelX 4463 KachelY + 1 4766 0.28148547 -0.49265356 16.127929 -28.226970
    Unten rechts KachelX + 1 4464 KachelY + 1 4766 0.28225246 -0.49265356 16.171875 -28.226970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49197766--0.49265356) × R
    0.000675900000000007 × 6371000     		dl = 4306.15890000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49197766--0.49265356) × R
    0.000675900000000007 × 6371000     		dr = 4306.15890000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28148547-0.28225246) × cos(-0.49197766) × R
    0.000766989999999967 × 0.88140039576013 × 6371000     		do = 4306.95711968504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28148547-0.28225246) × cos(-0.49265356) × R
    0.000766989999999967 × 0.881080919624945 × 6371000     		du = 4305.39600169414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49197766)-sin(-0.49265356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88140039576013-0.881080919624945)×R²
    abs(0.28225246-0.28148547)×0.000319476135185126×R²
    0.000766989999999967×0.000319476135185126×6371000²
    0.000766989999999967×0.000319476135185126×40589641000000     		ar = 18543081.2277202m²