Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4463 / 4752
↖ ↑ ↗
← S 27.683528°
E 16.127929°		 ← 4 327.12 m → S 27.683528°
E 16.171875°		 →
↑
4 326.35 m
↓
↑
4 326.35 m
↓
S 27.722436°
E 16.127929°		 ← 4 325.58 m →
18 717 333 m²		 S 27.722436°
E 16.171875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54486083984375 y=0.58013916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54486083984375 × 213)
    floor (0.54486083984375 × 8192)
    floor (4463.5)     		tx = 4463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58013916015625 × 213)
    floor (0.58013916015625 × 8192)
    floor (4752.5)     		ty = 4752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4463 / 4752 ti = "13/4463/4752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4463/4752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4463 ÷ 213
    4463 ÷ 8192     		x = 0.5447998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4752 ÷ 213
    4752 ÷ 8192     		y = 0.580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5447998046875 × 2 - 1) × π
    0.089599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.28148547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580078125 × 2 - 1) × π
    -0.16015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.503145698412109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28148547} λ = 0.28148547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.503145698412109))-π/2
    2×atan(0.604625694972627)-π/2
    2×0.543813806588609-π/2
    1.08762761317722-1.57079632675     		φ = -0.48316871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28148547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.127929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48316871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.683528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4463 KachelY 4752 0.28148547 -0.48316871 16.127929 -27.683528
    Oben rechts KachelX + 1 4464 KachelY 4752 0.28225246 -0.48316871 16.171875 -27.683528
    Unten links KachelX 4463 KachelY + 1 4753 0.28148547 -0.48384778 16.127929 -27.722436
    Unten rechts KachelX + 1 4464 KachelY + 1 4753 0.28225246 -0.48384778 16.171875 -27.722436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48316871--0.48384778) × R
    0.000679070000000004 × 6371000     		dl = 4326.35497000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48316871--0.48384778) × R
    0.000679070000000004 × 6371000     		dr = 4326.35497000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28148547-0.28225246) × cos(-0.48316871) × R
    0.000766989999999967 × 0.885527227905161 × 6371000     		do = 4327.12285727069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28148547-0.28225246) × cos(-0.48384778) × R
    0.000766989999999967 × 0.885211536333592 × 6371000     		du = 4325.58023252451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48316871)-sin(-0.48384778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885527227905161-0.885211536333592)×R²
    abs(0.28225246-0.28148547)×0.000315691571569077×R²
    0.000766989999999967×0.000315691571569077×6371000²
    0.000766989999999967×0.000315691571569077×40589641000000     		ar = 18717333.2275047m²