Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44626 / 95634
↖ ↑ ↗
← S 63.413656°
W 57.431030°		 ← 136.69 m → S 63.413656°
W 57.428283°		 →
↑
136.72 m
↓
↑
136.72 m
↓
S 63.414886°
W 57.431030°		 ← 136.69 m →
18 688 m²		 S 63.414886°
W 57.428283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340473175048828 y=0.729633331298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340473175048828 × 217)
    floor (0.340473175048828 × 131072)
    floor (44626.5)     		tx = 44626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729633331298828 × 217)
    floor (0.729633331298828 × 131072)
    floor (95634.5)     		ty = 95634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44626 / 95634 ti = "17/44626/95634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44626/95634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44626 ÷ 217
    44626 ÷ 131072     		x = 0.340469360351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95634 ÷ 217
    95634 ÷ 131072     		y = 0.729629516601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.340469360351562 × 2 - 1) × π
    -0.319061279296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.00236057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729629516601562 × 2 - 1) × π
    -0.459259033203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.44280480476445
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00236057} λ = -1.00236057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44280480476445))-π/2
    2×atan(0.236264153652059)-π/2
    2×0.232009617065893-π/2
    0.464019234131787-1.57079632675     		φ = -1.10677709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00236057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.431030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10677709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.413656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44626 KachelY 95634 -1.00236057 -1.10677709 -57.431030 -63.413656
    Oben rechts KachelX + 1 44627 KachelY 95634 -1.00231263 -1.10677709 -57.428283 -63.413656
    Unten links KachelX 44626 KachelY + 1 95635 -1.00236057 -1.10679855 -57.431030 -63.414886
    Unten rechts KachelX + 1 44627 KachelY + 1 95635 -1.00231263 -1.10679855 -57.428283 -63.414886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10677709--1.10679855) × R
    2.14599999999177e-05 × 6371000     		dl = 136.721659999475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10677709--1.10679855) × R
    2.14599999999177e-05 × 6371000     		dr = 136.721659999475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00236057--1.00231263) × cos(-1.10677709) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.447545958614561 × 6371000     		do = 136.692055593772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00236057--1.00231263) × cos(-1.10679855) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.447526767671902 × 6371000     		du = 136.686194185909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10677709)-sin(-1.10679855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447545958614561-0.447526767671902)×R²
    abs(-1.00231263--1.00236057)×1.91909426588421e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91909426588421e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91909426588421e-05×40589641000000     		ar = 18688.3640596509m²