Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 44624 / 94608
↖ ↑ ↗
← S 62.124436°
W 57.436523°		 ← 142.77 m → S 62.124436°
W 57.433777°		 →
↑
142.77 m
↓
↑
142.77 m
↓
S 62.125720°
W 57.436523°		 ← 142.77 m →
20 384 m²		 S 62.125720°
W 57.433777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340457916259766 y=0.721805572509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340457916259766 × 217)
    floor (0.340457916259766 × 131072)
    floor (44624.5)     		tx = 44624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721805572509766 × 217)
    floor (0.721805572509766 × 131072)
    floor (94608.5)     		ty = 94608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44624 / 94608 ti = "17/44624/94608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44624/94608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44624 ÷ 217
    44624 ÷ 131072     		x = 0.3404541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94608 ÷ 217
    94608 ÷ 131072     		y = 0.7218017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3404541015625 × 2 - 1) × π
    -0.319091796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.00245644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7218017578125 × 2 - 1) × π
    -0.443603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.39362154575427
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00245644} λ = -1.00245644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39362154575427))-π/2
    2×atan(0.248174898434918)-π/2
    2×0.243260184192165-π/2
    0.486520368384329-1.57079632675     		φ = -1.08427596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00245644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.436523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08427596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.124436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44624 KachelY 94608 -1.00245644 -1.08427596 -57.436523 -62.124436
    Oben rechts KachelX + 1 44625 KachelY 94608 -1.00240851 -1.08427596 -57.433777 -62.124436
    Unten links KachelX 44624 KachelY + 1 94609 -1.00245644 -1.08429837 -57.436523 -62.125720
    Unten rechts KachelX + 1 44625 KachelY + 1 94609 -1.00240851 -1.08429837 -57.433777 -62.125720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08427596--1.08429837) × R
    2.24099999999172e-05 × 6371000     		dl = 142.774109999473m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08427596--1.08429837) × R
    2.24099999999172e-05 × 6371000     		dr = 142.774109999473m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00245644--1.00240851) × cos(-1.08427596) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.467552850523649 × 6371000     		do = 142.772887568275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00245644--1.00240851) × cos(-1.08429837) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.467533040747925 × 6371000     		du = 142.766838414947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08427596)-sin(-1.08429837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.467552850523649-0.467533040747925)×R²
    abs(-1.00240851--1.00245644)×1.98097757240223e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.98097757240223e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.98097757240223e-05×40589641000000     		ar = 20383.8401242932m²