Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4461 / 4751
↖ ↑ ↗
← S 27.644606°
E 16.040039°		 ← 4 328.66 m → S 27.644606°
E 16.083984°		 →
↑
4 327.88 m
↓
↑
4 327.88 m
↓
S 27.683528°
E 16.040039°		 ← 4 327.12 m →
18 730 622 m²		 S 27.683528°
E 16.083984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54461669921875 y=0.58001708984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54461669921875 × 213)
    floor (0.54461669921875 × 8192)
    floor (4461.5)     		tx = 4461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58001708984375 × 213)
    floor (0.58001708984375 × 8192)
    floor (4751.5)     		ty = 4751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4461 / 4751 ti = "13/4461/4751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4461/4751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4461 ÷ 213
    4461 ÷ 8192     		x = 0.5445556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4751 ÷ 213
    4751 ÷ 8192     		y = 0.5799560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5445556640625 × 2 - 1) × π
    0.089111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27995149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5799560546875 × 2 - 1) × π
    -0.159912109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.502378708018189
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27995149} λ = 0.27995149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.502378708018189))-π/2
    2×atan(0.605089614960933)-π/2
    2×0.544153462512434-π/2
    1.08830692502487-1.57079632675     		φ = -0.48248940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27995149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.040039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48248940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.644606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4461 KachelY 4751 0.27995149 -0.48248940 16.040039 -27.644606
    Oben rechts KachelX + 1 4462 KachelY 4751 0.28071848 -0.48248940 16.083984 -27.644606
    Unten links KachelX 4461 KachelY + 1 4752 0.27995149 -0.48316871 16.040039 -27.683528
    Unten rechts KachelX + 1 4462 KachelY + 1 4752 0.28071848 -0.48316871 16.083984 -27.683528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48248940--0.48316871) × R
    0.000679309999999989 × 6371000     		dl = 4327.88400999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48248940--0.48316871) × R
    0.000679309999999989 × 6371000     		dr = 4327.88400999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27995149-0.28071848) × cos(-0.48248940) × R
    0.000766989999999967 × 0.885842622484829 × 6371000     		do = 4328.66403076794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27995149-0.28071848) × cos(-0.48316871) × R
    0.000766989999999967 × 0.885527227905161 × 6371000     		du = 4327.12285727069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48248940)-sin(-0.48316871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885842622484829-0.885527227905161)×R²
    abs(0.28071848-0.27995149)×0.000315394579667561×R²
    0.000766989999999967×0.000315394579667561×6371000²
    0.000766989999999967×0.000315394579667561×40589641000000     		ar = 18730621.553644m²