Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4461 / 3928
↖ ↑ ↗
← N  7.362467°
E 16.040039°		 ← 4 846.21 m → N  7.362467°
E 16.083984°		 →
↑
4 846.48 m
↓
↑
4 846.48 m
↓
N  7.318882°
E 16.040039°		 ← 4 846.68 m →
23 488 208 m²		 N  7.318882°
E 16.083984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54461669921875 y=0.47955322265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54461669921875 × 213)
    floor (0.54461669921875 × 8192)
    floor (4461.5)     		tx = 4461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.47955322265625 × 213)
    floor (0.47955322265625 × 8192)
    floor (3928.5)     		ty = 3928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4461 / 3928 ti = "13/4461/3928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4461/3928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4461 ÷ 213
    4461 ÷ 8192     		x = 0.5445556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3928 ÷ 213
    3928 ÷ 8192     		y = 0.4794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5445556640625 × 2 - 1) × π
    0.089111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27995149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4794921875 × 2 - 1) × π
    0.041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.128854386178711
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27995149} λ = 0.27995149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.128854386178711))-π/2
    2×atan(1.13752447282016)-π/2
    2×0.849647807331915-π/2
    1.69929561466383-1.57079632675     		φ = 0.12849929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27995149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.040039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12849929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.362467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4461 KachelY 3928 0.27995149 0.12849929 16.040039 7.362467
    Oben rechts KachelX + 1 4462 KachelY 3928 0.28071848 0.12849929 16.083984 7.362467
    Unten links KachelX 4461 KachelY + 1 3929 0.27995149 0.12773858 16.040039 7.318882
    Unten rechts KachelX + 1 4462 KachelY + 1 3929 0.28071848 0.12773858 16.083984 7.318882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12849929-0.12773858) × R
    0.000760709999999998 × 6371000     		dl = 4846.48340999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12849929-0.12773858) × R
    0.000760709999999998 × 6371000     		dr = 4846.48340999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27995149-0.28071848) × cos(0.12849929) × R
    0.000766989999999967 × 0.991755320332752 × 6371000     		do = 4846.20571812759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27995149-0.28071848) × cos(0.12773858) × R
    0.000766989999999967 × 0.991852515274919 × 6371000     		du = 4846.68066056031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12849929)-sin(0.12773858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991755320332752-0.991852515274919)×R²
    abs(0.28071848-0.27995149)×9.71949421668672e-05×R²
    0.000766989999999967×9.71949421668672e-05×6371000²
    0.000766989999999967×9.71949421668672e-05×40589641000000     		ar = 23488207.6473421m²