Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4461 / 13099
↖ ↑ ↗
← S 72.679224°
W 81.979980°		 ← 727.42 m → S 72.679224°
W 81.958008°		 →
↑
727.31 m
↓
↑
727.31 m
↓
S 72.685765°
W 81.979980°		 ← 727.15 m →
528 962 m²		 S 72.685765°
W 81.958008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.272308349609375 y=0.799530029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.272308349609375 × 214)
    floor (0.272308349609375 × 16384)
    floor (4461.5)     		tx = 4461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799530029296875 × 214)
    floor (0.799530029296875 × 16384)
    floor (13099.5)     		ty = 13099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4461 / 13099 ti = "14/4461/13099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4461/13099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4461 ÷ 214
    4461 ÷ 16384     		x = 0.27227783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13099 ÷ 214
    13099 ÷ 16384     		y = 0.79949951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27227783203125 × 2 - 1) × π
    -0.4554443359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.43082058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79949951171875 × 2 - 1) × π
    -0.5989990234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.88181093148492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43082058} λ = -1.43082058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88181093148492))-π/2
    2×atan(0.152314025586667)-π/2
    2×0.151152281471651-π/2
    0.302304562943302-1.57079632675     		φ = -1.26849176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43082058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.979980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26849176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.679224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4461 KachelY 13099 -1.43082058 -1.26849176 -81.979980 -72.679224
    Oben rechts KachelX + 1 4462 KachelY 13099 -1.43043708 -1.26849176 -81.958008 -72.679224
    Unten links KachelX 4461 KachelY + 1 13100 -1.43082058 -1.26860592 -81.979980 -72.685765
    Unten rechts KachelX + 1 4462 KachelY + 1 13100 -1.43043708 -1.26860592 -81.958008 -72.685765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26849176--1.26860592) × R
    0.000114159999999863 × 6371000     		dl = 727.313359999129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26849176--1.26860592) × R
    0.000114159999999863 × 6371000     		dr = 727.313359999129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43082058--1.43043708) × cos(-1.26849176) × R
    0.000383500000000092 × 0.297721056705591 × 6371000     		do = 727.415456846226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43082058--1.43043708) × cos(-1.26860592) × R
    0.000383500000000092 × 0.297612071589966 × 6371000     		du = 727.149175856399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26849176)-sin(-1.26860592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297721056705591-0.297612071589966)×R²
    abs(-1.43043708--1.43082058)×0.000108985115625071×R²
    0.000383500000000092×0.000108985115625071×6371000²
    0.000383500000000092×0.000108985115625071×40589641000000     		ar = 528962.145748465m²