Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4460 / 3903
↖ ↑ ↗
← N  8.450639°
E 15.996094°		 ← 4 833.44 m → N  8.450639°
E 16.040039°		 →
↑
4 833.68 m
↓
↑
4 833.68 m
↓
N  8.407168°
E 15.996094°		 ← 4 833.98 m →
23 364 605 m²		 N  8.407168°
E 16.040039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54449462890625 y=0.47650146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54449462890625 × 213)
    floor (0.54449462890625 × 8192)
    floor (4460.5)     		tx = 4460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.47650146484375 × 213)
    floor (0.47650146484375 × 8192)
    floor (3903.5)     		ty = 3903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4460 / 3903 ti = "13/4460/3903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4460/3903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4460 ÷ 213
    4460 ÷ 8192     		x = 0.54443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3903 ÷ 213
    3903 ÷ 8192     		y = 0.4764404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54443359375 × 2 - 1) × π
    0.0888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.27918450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4764404296875 × 2 - 1) × π
    0.047119140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.148029146026733
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27918450} λ = 0.27918450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.148029146026733))-π/2
    2×atan(1.15954669204935)-π/2
    2×0.859143898876636-π/2
    1.71828779775327-1.57079632675     		φ = 0.14749147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27918450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.996094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.14749147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.450639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4460 KachelY 3903 0.27918450 0.14749147 15.996094 8.450639
    Oben rechts KachelX + 1 4461 KachelY 3903 0.27995149 0.14749147 16.040039 8.450639
    Unten links KachelX 4460 KachelY + 1 3904 0.27918450 0.14673277 15.996094 8.407168
    Unten rechts KachelX + 1 4461 KachelY + 1 3904 0.27995149 0.14673277 16.040039 8.407168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.14749147-0.14673277) × R
    0.000758700000000001 × 6371000     		dl = 4833.67770000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.14749147-0.14673277) × R
    0.000758700000000001 × 6371000     		dr = 4833.67770000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27918450-0.27995149) × cos(0.14749147) × R
    0.000766990000000023 × 0.989142836551835 × 6371000     		do = 4833.43983366225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27918450-0.27995149) × cos(0.14673277) × R
    0.000766990000000023 × 0.989254048358907 × 6371000     		du = 4833.98326941128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.14749147)-sin(0.14673277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989142836551835-0.989254048358907)×R²
    abs(0.27995149-0.27918450)×0.000111211807071521×R²
    0.000766990000000023×0.000111211807071521×6371000²
    0.000766990000000023×0.000111211807071521×40589641000000     		ar = 23364604.8556677m²