Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 446 / 569
↖ ↑ ↗
← N 78.188586°
W140.800781°		 ← 2 000.44 m → N 78.188586°
W140.712891°		 →
↑
2 001.96 m
↓
↑
2 001.96 m
↓
N 78.170582°
W140.800781°		 ← 2 003.45 m →
4 007 814 m²		 N 78.170582°
W140.712891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1090087890625 y=0.1390380859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1090087890625 × 212)
    floor (0.1090087890625 × 4096)
    floor (446.5)     		tx = 446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1390380859375 × 212)
    floor (0.1390380859375 × 4096)
    floor (569.5)     		ty = 569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 446 / 569 ti = "12/446/569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/446/569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 446 ÷ 212
    446 ÷ 4096     		x = 0.10888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 569 ÷ 212
    569 ÷ 4096     		y = 0.138916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10888671875 × 2 - 1) × π
    -0.7822265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.45743722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138916015625 × 2 - 1) × π
    0.72216796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26875758521802
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45743722} λ = -2.45743722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26875758521802))-π/2
    2×atan(9.66738245086271)-π/2
    2×1.46772229660848-π/2
    2.93544459321695-1.57079632675     		φ = 1.36464827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45743722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.800781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36464827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.188586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 446 KachelY 569 -2.45743722 1.36464827 -140.800781 78.188586
    Oben rechts KachelX + 1 447 KachelY 569 -2.45590324 1.36464827 -140.712891 78.188586
    Unten links KachelX 446 KachelY + 1 570 -2.45743722 1.36433404 -140.800781 78.170582
    Unten rechts KachelX + 1 447 KachelY + 1 570 -2.45590324 1.36433404 -140.712891 78.170582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36464827-1.36433404) × R
    0.000314230000000082 × 6371000     		dl = 2001.95933000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36464827-1.36433404) × R
    0.000314230000000082 × 6371000     		dr = 2001.95933000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45743722--2.45590324) × cos(1.36464827) × R
    0.00153398000000005 × 0.204691043119513 × 6371000     		do = 2000.44281745326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45743722--2.45590324) × cos(1.36433404) × R
    0.00153398000000005 × 0.204998609701595 × 6371000     		du = 2003.4486615324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36464827)-sin(1.36433404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204691043119513-0.204998609701595)×R²
    abs(-2.45590324--2.45743722)×0.000307566582081947×R²
    0.00153398000000005×0.000307566582081947×6371000²
    0.00153398000000005×0.000307566582081947×40589641000000     		ar = 4007813.98431619m²