Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44580 / 94552
↖ ↑ ↗
← S 62.052437°
W 57.557373°		 ← 143.14 m → S 62.052437°
W 57.554626°		 →
↑
143.09 m
↓
↑
143.09 m
↓
S 62.053724°
W 57.557373°		 ← 143.14 m →
20 482 m²		 S 62.053724°
W 57.554626°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340122222900391 y=0.721378326416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340122222900391 × 217)
    floor (0.340122222900391 × 131072)
    floor (44580.5)     		tx = 44580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721378326416016 × 217)
    floor (0.721378326416016 × 131072)
    floor (94552.5)     		ty = 94552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44580 / 94552 ti = "17/44580/94552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44580/94552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44580 ÷ 217
    44580 ÷ 131072     		x = 0.340118408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94552 ÷ 217
    94552 ÷ 131072     		y = 0.72137451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.340118408203125 × 2 - 1) × π
    -0.31976318359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.00456567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72137451171875 × 2 - 1) × π
    -0.4427490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.39093707937555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00456567} λ = -1.00456567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39093707937555))-π/2
    2×atan(0.248842010625312)-π/2
    2×0.243888494169724-π/2
    0.487776988339449-1.57079632675     		φ = -1.08301934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00456567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.557373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08301934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.052437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44580 KachelY 94552 -1.00456567 -1.08301934 -57.557373 -62.052437
    Oben rechts KachelX + 1 44581 KachelY 94552 -1.00451773 -1.08301934 -57.554626 -62.052437
    Unten links KachelX 44580 KachelY + 1 94553 -1.00456567 -1.08304180 -57.557373 -62.053724
    Unten rechts KachelX + 1 44581 KachelY + 1 94553 -1.00451773 -1.08304180 -57.554626 -62.053724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08301934--1.08304180) × R
    2.24599999998354e-05 × 6371000     		dl = 143.092659998951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08301934--1.08304180) × R
    2.24599999998354e-05 × 6371000     		dr = 143.092659998951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00456567--1.00451773) × cos(-1.08301934) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.468663289324536 × 6371000     		do = 143.141831952687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00456567--1.00451773) × cos(-1.08304180) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.468643448561488 × 6371000     		du = 143.135772072951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08301934)-sin(-1.08304180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468663289324536-0.468643448561488)×R²
    abs(-1.00451773--1.00456567)×1.98407630478958e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.98407630478958e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.98407630478958e-05×40589641000000     		ar = 20482.1119298376m²