Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4458 / 2409
↖ ↑ ↗
← N 77.575232°
W 82.045899°		 ← 525.69 m → N 77.575232°
W 82.023926°		 →
↑
525.73 m
↓
↑
525.73 m
↓
N 77.570504°
W 82.045899°		 ← 525.89 m →
276 425 m²		 N 77.570504°
W 82.023926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.272125244140625 y=0.147064208984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.272125244140625 × 214)
    floor (0.272125244140625 × 16384)
    floor (4458.5)     		tx = 4458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147064208984375 × 214)
    floor (0.147064208984375 × 16384)
    floor (2409.5)     		ty = 2409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4458 / 2409 ti = "14/4458/2409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4458/2409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4458 ÷ 214
    4458 ÷ 16384     		x = 0.2720947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2409 ÷ 214
    2409 ÷ 16384     		y = 0.14703369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2720947265625 × 2 - 1) × π
    -0.455810546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.43197107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14703369140625 × 2 - 1) × π
    0.7059326171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21775272402228
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43197107} λ = -1.43197107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21775272402228))-π/2
    2×atan(9.18666268466029)-π/2
    2×1.46236977549431-π/2
    2.92473955098863-1.57079632675     		φ = 1.35394322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43197107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.045899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35394322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.575232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4458 KachelY 2409 -1.43197107 1.35394322 -82.045899 77.575232
    Oben rechts KachelX + 1 4459 KachelY 2409 -1.43158757 1.35394322 -82.023926 77.575232
    Unten links KachelX 4458 KachelY + 1 2410 -1.43197107 1.35386070 -82.045899 77.570504
    Unten rechts KachelX + 1 4459 KachelY + 1 2410 -1.43158757 1.35386070 -82.023926 77.570504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35394322-1.35386070) × R
    8.25199999998638e-05 × 6371000     		dl = 525.734919999132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35394322-1.35386070) × R
    8.25199999998638e-05 × 6371000     		dr = 525.734919999132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43197107--1.43158757) × cos(1.35394322) × R
    0.00038349999999987 × 0.215157502541223 × 6371000     		do = 525.689700072486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43197107--1.43158757) × cos(1.35386070) × R
    0.00038349999999987 × 0.21523808913747 × 6371000     		du = 525.886595570486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35394322)-sin(1.35386070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215157502541223-0.21523808913747)×R²
    abs(-1.43158757--1.43197107)×8.05865962476837e-05×R²
    0.00038349999999987×8.05865962476837e-05×6371000²
    0.00038349999999987×8.05865962476837e-05×40589641000000     		ar = 276425.189989529m²