Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44579 / 94549
↖ ↑ ↗
← S 62.048576°
W 57.560120°		 ← 143.16 m → S 62.048576°
W 57.557373°		 →
↑
143.09 m
↓
↑
143.09 m
↓
S 62.049862°
W 57.560120°		 ← 143.15 m →
20 485 m²		 S 62.049862°
W 57.557373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340114593505859 y=0.721355438232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340114593505859 × 217)
    floor (0.340114593505859 × 131072)
    floor (44579.5)     		tx = 44579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721355438232422 × 217)
    floor (0.721355438232422 × 131072)
    floor (94549.5)     		ty = 94549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44579 / 94549 ti = "17/44579/94549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44579/94549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44579 ÷ 217
    44579 ÷ 131072     		x = 0.340110778808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94549 ÷ 217
    94549 ÷ 131072     		y = 0.721351623535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.340110778808594 × 2 - 1) × π
    -0.319778442382812 × 3.1415926535     		Λ = -1.00461361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721351623535156 × 2 - 1) × π
    -0.442703247070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.39079326867669
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00461361} λ = -1.00461361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39079326867669))-π/2
    2×atan(0.248877799342104)-π/2
    2×0.243922195708041-π/2
    0.487844391416083-1.57079632675     		φ = -1.08295194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00461361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.560120°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08295194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.048576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44579 KachelY 94549 -1.00461361 -1.08295194 -57.560120 -62.048576
    Oben rechts KachelX + 1 44580 KachelY 94549 -1.00456567 -1.08295194 -57.557373 -62.048576
    Unten links KachelX 44579 KachelY + 1 94550 -1.00461361 -1.08297440 -57.560120 -62.049862
    Unten rechts KachelX + 1 44580 KachelY + 1 94550 -1.00456567 -1.08297440 -57.557373 -62.049862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08295194--1.08297440) × R
    2.24599999998354e-05 × 6371000     		dl = 143.092659998951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08295194--1.08297440) × R
    2.24599999998354e-05 × 6371000     		dr = 143.092659998951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00461361--1.00456567) × cos(-1.08295194) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.468722827862038 × 6371000     		do = 143.160016554562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00461361--1.00456567) × cos(-1.08297440) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.468702987808485 × 6371000     		du = 143.153956891524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08295194)-sin(-1.08297440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468722827862038-0.468702987808485)×R²
    abs(-1.00456567--1.00461361)×1.98400535534882e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.98400535534882e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.98400535534882e-05×40589641000000     		ar = 20484.7140284303m²