Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44577 / 94558
↖ ↑ ↗
← S 62.060160°
W 57.565613°		 ← 143.11 m → S 62.060160°
W 57.562866°		 →
↑
143.09 m
↓
↑
143.09 m
↓
S 62.061447°
W 57.565613°		 ← 143.10 m →
20 477 m²		 S 62.061447°
W 57.562866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340099334716797 y=0.721424102783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340099334716797 × 217)
    floor (0.340099334716797 × 131072)
    floor (44577.5)     		tx = 44577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721424102783203 × 217)
    floor (0.721424102783203 × 131072)
    floor (94558.5)     		ty = 94558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44577 / 94558 ti = "17/44577/94558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44577/94558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44577 ÷ 217
    44577 ÷ 131072     		x = 0.340095520019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94558 ÷ 217
    94558 ÷ 131072     		y = 0.721420288085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.340095520019531 × 2 - 1) × π
    -0.319808959960938 × 3.1415926535     		Λ = -1.00470948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721420288085938 × 2 - 1) × π
    -0.442840576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.39122470077327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00470948} λ = -1.00470948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39122470077327))-π/2
    2×atan(0.248770448630278)-π/2
    2×0.243821103936118-π/2
    0.487642207872236-1.57079632675     		φ = -1.08315412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00470948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.565613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08315412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.060160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44577 KachelY 94558 -1.00470948 -1.08315412 -57.565613 -62.060160
    Oben rechts KachelX + 1 44578 KachelY 94558 -1.00466154 -1.08315412 -57.562866 -62.060160
    Unten links KachelX 44577 KachelY + 1 94559 -1.00470948 -1.08317658 -57.565613 -62.061447
    Unten rechts KachelX + 1 44578 KachelY + 1 94559 -1.00466154 -1.08317658 -57.562866 -62.061447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08315412--1.08317658) × R
    2.24599999998354e-05 × 6371000     		dl = 143.092659998951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08315412--1.08317658) × R
    2.24599999998354e-05 × 6371000     		dr = 143.092659998951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00470948--1.00466154) × cos(-1.08315412) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.468544223531528 × 6371000     		do = 143.105466194748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00470948--1.00466154) × cos(-1.08317658) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.468524381349972 × 6371000     		du = 143.099405881764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08315412)-sin(-1.08317658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468544223531528-0.468524381349972)×R²
    abs(-1.00466154--1.00470948)×1.98421815558736e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.98421815558736e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.98421815558736e-05×40589641000000     		ar = 20476.9082258593m²