Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4457 / 3932
↖ ↑ ↗
← N  7.188101°
E 15.864258°		 ← 4 848.09 m → N  7.188101°
E 15.908203°		 →
↑
4 848.33 m
↓
↑
4 848.33 m
↓
N  7.144499°
E 15.864258°		 ← 4 848.55 m →
23 506 265 m²		 N  7.144499°
E 15.908203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54412841796875 y=0.48004150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54412841796875 × 213)
    floor (0.54412841796875 × 8192)
    floor (4457.5)     		tx = 4457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.48004150390625 × 213)
    floor (0.48004150390625 × 8192)
    floor (3932.5)     		ty = 3932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4457 / 3932 ti = "13/4457/3932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4457/3932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4457 ÷ 213
    4457 ÷ 8192     		x = 0.5440673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3932 ÷ 213
    3932 ÷ 8192     		y = 0.47998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5440673828125 × 2 - 1) × π
    0.088134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27688353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47998046875 × 2 - 1) × π
    0.0400390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.125786424603027
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27688353} λ = 0.27688353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.125786424603027))-π/2
    2×atan(1.13403993938664)-π/2
    2×0.848126176979438-π/2
    1.69625235395888-1.57079632675     		φ = 0.12545603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27688353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.864258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12545603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.188101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4457 KachelY 3932 0.27688353 0.12545603 15.864258 7.188101
    Oben rechts KachelX + 1 4458 KachelY 3932 0.27765052 0.12545603 15.908203 7.188101
    Unten links KachelX 4457 KachelY + 1 3933 0.27688353 0.12469503 15.864258 7.144499
    Unten rechts KachelX + 1 4458 KachelY + 1 3933 0.27765052 0.12469503 15.908203 7.144499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12545603-0.12469503) × R
    0.000760999999999998 × 6371000     		dl = 4848.33099999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12545603-0.12469503) × R
    0.000760999999999998 × 6371000     		dr = 4848.33099999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27688353-0.27765052) × cos(0.12545603) × R
    0.000766990000000023 × 0.992140708642255 × 6371000     		do = 4848.08891551637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27688353-0.27765052) × cos(0.12469503) × R
    0.000766990000000023 × 0.992235643141665 × 6371000     		du = 4848.55281231072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12545603)-sin(0.12469503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992140708642255-0.992235643141665)×R²
    abs(0.27765052-0.27688353)×9.49344994096712e-05×R²
    0.000766990000000023×9.49344994096712e-05×6371000²
    0.000766990000000023×9.49344994096712e-05×40589641000000     		ar = 23506265.4768731m²