Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4457 / 13081
↖ ↑ ↗
← S 72.561085°
W 82.067871°		 ← 732.20 m → S 72.561085°
W 82.045899°		 →
↑
732.03 m
↓
↑
732.03 m
↓
S 72.567668°
W 82.067871°		 ← 731.94 m →
535 896 m²		 S 72.567668°
W 82.045899°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.272064208984375 y=0.798431396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.272064208984375 × 214)
    floor (0.272064208984375 × 16384)
    floor (4457.5)     		tx = 4457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798431396484375 × 214)
    floor (0.798431396484375 × 16384)
    floor (13081.5)     		ty = 13081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4457 / 13081 ti = "14/4457/13081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4457/13081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4457 ÷ 214
    4457 ÷ 16384     		x = 0.27203369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13081 ÷ 214
    13081 ÷ 16384     		y = 0.79840087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27203369140625 × 2 - 1) × π
    -0.4559326171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.43235456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79840087890625 × 2 - 1) × π
    -0.5968017578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.87490801793964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43235456} λ = -1.43235456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87490801793964))-π/2
    2×atan(0.153369073399511)-π/2
    2×0.152183245326008-π/2
    0.304366490652016-1.57079632675     		φ = -1.26642984
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43235456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.067871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26642984 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.561085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4457 KachelY 13081 -1.43235456 -1.26642984 -82.067871 -72.561085
    Oben rechts KachelX + 1 4458 KachelY 13081 -1.43197107 -1.26642984 -82.045899 -72.561085
    Unten links KachelX 4457 KachelY + 1 13082 -1.43235456 -1.26654474 -82.067871 -72.567668
    Unten rechts KachelX + 1 4458 KachelY + 1 13082 -1.43197107 -1.26654474 -82.045899 -72.567668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26642984--1.26654474) × R
    0.000114900000000029 × 6371000     		dl = 732.027900000184m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26642984--1.26654474) × R
    0.000114900000000029 × 6371000     		dr = 732.027900000184m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43235456--1.43197107) × cos(-1.26642984) × R
    0.000383490000000153 × 0.299688840349906 × 6371000     		do = 732.20420714113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43235456--1.43197107) × cos(-1.26654474) × R
    0.000383490000000153 × 0.299579219520503 × 6371000     		du = 731.936379909441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26642984)-sin(-1.26654474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299688840349906-0.299579219520503)×R²
    abs(-1.43197107--1.43235456)×0.000109620829402801×R²
    0.000383490000000153×0.000109620829402801×6371000²
    0.000383490000000153×0.000109620829402801×40589641000000     		ar = 535895.880211791m²