Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 4457 / 12966
↖ ↑ ↗
← S 71.787681°
W 82.067871°		 ← 763.60 m → S 71.787681°
W 82.045899°		 →
↑
763.50 m
↓
↑
763.50 m
↓
S 71.794547°
W 82.067871°		 ← 763.32 m →
582 903 m²		 S 71.794547°
W 82.045899°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.272064208984375 y=0.791412353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.272064208984375 × 214)
    floor (0.272064208984375 × 16384)
    floor (4457.5)     		tx = 4457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.791412353515625 × 214)
    floor (0.791412353515625 × 16384)
    floor (12966.5)     		ty = 12966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4457 / 12966 ti = "14/4457/12966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4457/12966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4457 ÷ 214
    4457 ÷ 16384     		x = 0.27203369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12966 ÷ 214
    12966 ÷ 16384     		y = 0.7913818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27203369140625 × 2 - 1) × π
    -0.4559326171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.43235456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7913818359375 × 2 - 1) × π
    -0.582763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.83080607028918
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43235456} λ = -1.43235456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.83080607028918))-π/2
    2×atan(0.16028431526451)-π/2
    2×0.158932468355469-π/2
    0.317864936710939-1.57079632675     		φ = -1.25293139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43235456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.067871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25293139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.787681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4457 KachelY 12966 -1.43235456 -1.25293139 -82.067871 -71.787681
    Oben rechts KachelX + 1 4458 KachelY 12966 -1.43197107 -1.25293139 -82.045899 -71.787681
    Unten links KachelX 4457 KachelY + 1 12967 -1.43235456 -1.25305123 -82.067871 -71.794547
    Unten rechts KachelX + 1 4458 KachelY + 1 12967 -1.43197107 -1.25305123 -82.045899 -71.794547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25293139--1.25305123) × R
    0.000119839999999982 × 6371000     		dl = 763.500639999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25293139--1.25305123) × R
    0.000119839999999982 × 6371000     		dr = 763.500639999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43235456--1.43197107) × cos(-1.25293139) × R
    0.000383490000000153 × 0.312539167566998 × 6371000     		do = 763.600316654282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43235456--1.43197107) × cos(-1.25305123) × R
    0.000383490000000153 × 0.312425328722943 × 6371000     		du = 763.32218390681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25293139)-sin(-1.25305123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312539167566998-0.312425328722943)×R²
    abs(-1.43197107--1.43235456)×0.000113838844055358×R²
    0.000383490000000153×0.000113838844055358×6371000²
    0.000383490000000153×0.000113838844055358×40589641000000     		ar = 582903.153903047m²