Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44564 / 94732
↖ ↑ ↗
← S 62.283256°
W 57.601318°		 ← 142.05 m → S 62.283256°
W 57.598572°		 →
↑
142.07 m
↓
↑
142.07 m
↓
S 62.284533°
W 57.601318°		 ← 142.05 m →
20 182 m²		 S 62.284533°
W 57.598572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340000152587891 y=0.722751617431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340000152587891 × 217)
    floor (0.340000152587891 × 131072)
    floor (44564.5)     		tx = 44564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722751617431641 × 217)
    floor (0.722751617431641 × 131072)
    floor (94732.5)     		ty = 94732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44564 / 94732 ti = "17/44564/94732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44564/94732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44564 ÷ 217
    44564 ÷ 131072     		x = 0.339996337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94732 ÷ 217
    94732 ÷ 131072     		y = 0.722747802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339996337890625 × 2 - 1) × π
    -0.32000732421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.00533266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722747802734375 × 2 - 1) × π
    -0.44549560546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.39956572130716
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00533266} λ = -1.00533266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39956572130716))-π/2
    2×atan(0.246704079005977)-π/2
    2×0.241874222276271-π/2
    0.483748444552542-1.57079632675     		φ = -1.08704788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00533266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.601318°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08704788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.283256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44564 KachelY 94732 -1.00533266 -1.08704788 -57.601318 -62.283256
    Oben rechts KachelX + 1 44565 KachelY 94732 -1.00528472 -1.08704788 -57.598572 -62.283256
    Unten links KachelX 44564 KachelY + 1 94733 -1.00533266 -1.08707018 -57.601318 -62.284533
    Unten rechts KachelX + 1 44565 KachelY + 1 94733 -1.00528472 -1.08707018 -57.598572 -62.284533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08704788--1.08707018) × R
    2.22999999999196e-05 × 6371000     		dl = 142.073299999488m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08704788--1.08707018) × R
    2.22999999999196e-05 × 6371000     		dr = 142.073299999488m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00533266--1.00528472) × cos(-1.08704788) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.465100776838754 × 6371000     		do = 142.053748941116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00533266--1.00528472) × cos(-1.08707018) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.465081035475494 × 6371000     		du = 142.047719420634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08704788)-sin(-1.08707018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465100776838754-0.465081035475494)×R²
    abs(-1.00528472--1.00533266)×1.97413632598287e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.97413632598287e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.97413632598287e-05×40589641000000     		ar = 20181.6165731147m²