Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44562 / 94574
↖ ↑ ↗
← S 62.080743°
W 57.606811°		 ← 142.98 m → S 62.080743°
W 57.604065°		 →
↑
142.97 m
↓
↑
142.97 m
↓
S 62.082029°
W 57.606811°		 ← 142.97 m →
20 441 m²		 S 62.082029°
W 57.604065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339984893798828 y=0.721546173095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339984893798828 × 217)
    floor (0.339984893798828 × 131072)
    floor (44562.5)     		tx = 44562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721546173095703 × 217)
    floor (0.721546173095703 × 131072)
    floor (94574.5)     		ty = 94574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44562 / 94574 ti = "17/44562/94574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44562/94574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44562 ÷ 217
    44562 ÷ 131072     		x = 0.339981079101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94574 ÷ 217
    94574 ÷ 131072     		y = 0.721542358398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339981079101562 × 2 - 1) × π
    -0.320037841796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.00542853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721542358398438 × 2 - 1) × π
    -0.443084716796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.39199169116719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00542853} λ = -1.00542853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39199169116719))-π/2
    2×atan(0.24857971723981)-π/2
    2×0.243641480342781-π/2
    0.487282960685562-1.57079632675     		φ = -1.08351337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00542853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.606811°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08351337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.080743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44562 KachelY 94574 -1.00542853 -1.08351337 -57.606811 -62.080743
    Oben rechts KachelX + 1 44563 KachelY 94574 -1.00538060 -1.08351337 -57.604065 -62.080743
    Unten links KachelX 44562 KachelY + 1 94575 -1.00542853 -1.08353581 -57.606811 -62.082029
    Unten rechts KachelX + 1 44563 KachelY + 1 94575 -1.00538060 -1.08353581 -57.604065 -62.082029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08351337--1.08353581) × R
    2.2440000000179e-05 × 6371000     		dl = 142.96524000114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08351337--1.08353581) × R
    2.2440000000179e-05 × 6371000     		dr = 142.96524000114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00542853--1.00538060) × cos(-1.08351337) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.46822681746741 × 6371000     		do = 142.978691482375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00542853--1.00538060) × cos(-1.08353581) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.468206989179022 × 6371000     		du = 142.972636675982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08351337)-sin(-1.08353581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46822681746741-0.468206989179022)×R²
    abs(-1.00538060--1.00542853)×1.98282883877021e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.98282883877021e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.98282883877021e-05×40589641000000     		ar = 20440.5501302079m²