Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44559 / 95729
↖ ↑ ↗
← S 63.530195°
W 57.615051°		 ← 136.11 m → S 63.530195°
W 57.612305°		 →
↑
136.15 m
↓
↑
136.15 m
↓
S 63.531419°
W 57.615051°		 ← 136.10 m →
18 530 m²		 S 63.531419°
W 57.612305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339962005615234 y=0.730358123779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339962005615234 × 217)
    floor (0.339962005615234 × 131072)
    floor (44559.5)     		tx = 44559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730358123779297 × 217)
    floor (0.730358123779297 × 131072)
    floor (95729.5)     		ty = 95729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44559 / 95729 ti = "17/44559/95729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44559/95729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44559 ÷ 217
    44559 ÷ 131072     		x = 0.339958190917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95729 ÷ 217
    95729 ÷ 131072     		y = 0.730354309082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339958190917969 × 2 - 1) × π
    -0.320083618164062 × 3.1415926535     		Λ = -1.00557234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730354309082031 × 2 - 1) × π
    -0.460708618164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.44735881022836
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00557234} λ = -1.00557234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44735881022836))-π/2
    2×atan(0.235190651627721)-π/2
    2×0.230992626640895-π/2
    0.46198525328179-1.57079632675     		φ = -1.10881107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00557234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.615051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10881107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.530195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44559 KachelY 95729 -1.00557234 -1.10881107 -57.615051 -63.530195
    Oben rechts KachelX + 1 44560 KachelY 95729 -1.00552441 -1.10881107 -57.612305 -63.530195
    Unten links KachelX 44559 KachelY + 1 95730 -1.00557234 -1.10883244 -57.615051 -63.531419
    Unten rechts KachelX + 1 44560 KachelY + 1 95730 -1.00552441 -1.10883244 -57.612305 -63.531419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10881107--1.10883244) × R
    2.13700000000205e-05 × 6371000     		dl = 136.148270000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10881107--1.10883244) × R
    2.13700000000205e-05 × 6371000     		dr = 136.148270000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00557234--1.00552441) × cos(-1.10881107) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.445726125252568 × 6371000     		do = 136.107834431242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00557234--1.00552441) × cos(-1.10883244) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.445706995381114 × 6371000     		du = 136.101992894861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10881107)-sin(-1.10883244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445726125252568-0.445706995381114)×R²
    abs(-1.00552441--1.00557234)×1.91298714539712e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.91298714539712e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.91298714539712e-05×40589641000000     		ar = 18530.4485345856m²