Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44555 / 95735
↖ ↑ ↗
← S 63.537539°
W 57.626038°		 ← 136.10 m → S 63.537539°
W 57.623291°		 →
↑
136.08 m
↓
↑
136.08 m
↓
S 63.538763°
W 57.626038°		 ← 136.10 m →
18 521 m²		 S 63.538763°
W 57.623291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339931488037109 y=0.730403900146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339931488037109 × 217)
    floor (0.339931488037109 × 131072)
    floor (44555.5)     		tx = 44555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730403900146484 × 217)
    floor (0.730403900146484 × 131072)
    floor (95735.5)     		ty = 95735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44555 / 95735 ti = "17/44555/95735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44555/95735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44555 ÷ 217
    44555 ÷ 131072     		x = 0.339927673339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95735 ÷ 217
    95735 ÷ 131072     		y = 0.730400085449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339927673339844 × 2 - 1) × π
    -0.320144653320312 × 3.1415926535     		Λ = -1.00576409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730400085449219 × 2 - 1) × π
    -0.460800170898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.44764643162608
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00576409} λ = -1.00576409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44764643162608))-π/2
    2×atan(0.235123015491035)-π/2
    2×0.230928534707175-π/2
    0.46185706941435-1.57079632675     		φ = -1.10893926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00576409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.626038°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10893926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.537539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44555 KachelY 95735 -1.00576409 -1.10893926 -57.626038 -63.537539
    Oben rechts KachelX + 1 44556 KachelY 95735 -1.00571615 -1.10893926 -57.623291 -63.537539
    Unten links KachelX 44555 KachelY + 1 95736 -1.00576409 -1.10896062 -57.626038 -63.538763
    Unten rechts KachelX + 1 44556 KachelY + 1 95736 -1.00571615 -1.10896062 -57.623291 -63.538763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10893926--1.10896062) × R
    2.13599999998593e-05 × 6371000     		dl = 136.084559999103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10893926--1.10896062) × R
    2.13599999998593e-05 × 6371000     		dr = 136.084559999103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00576409--1.00571615) × cos(-1.10893926) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.445611369827653 × 6371000     		do = 136.101182381935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00576409--1.00571615) × cos(-1.10896062) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.445592247687712 × 6371000     		du = 136.095341988193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10893926)-sin(-1.10896062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445611369827653-0.445592247687712)×R²
    abs(-1.00571615--1.00576409)×1.91221399413188e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91221399413188e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91221399413188e-05×40589641000000     		ar = 18520.872126752m²