Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 44554 / 94585
↖ ↑ ↗
← S 62.094886°
W 57.628784°		 ← 142.94 m → S 62.094886°
W 57.626038°		 →
↑
142.90 m
↓
↑
142.90 m
↓
S 62.096171°
W 57.628784°		 ← 142.94 m →
20 426 m²		 S 62.096171°
W 57.626038°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339923858642578 y=0.721630096435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339923858642578 × 217)
    floor (0.339923858642578 × 131072)
    floor (44554.5)     		tx = 44554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721630096435547 × 217)
    floor (0.721630096435547 × 131072)
    floor (94585.5)     		ty = 94585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44554 / 94585 ti = "17/44554/94585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44554/94585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44554 ÷ 217
    44554 ÷ 131072     		x = 0.339920043945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94585 ÷ 217
    94585 ÷ 131072     		y = 0.721626281738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339920043945312 × 2 - 1) × π
    -0.320159912109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.00581203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721626281738281 × 2 - 1) × π
    -0.443252563476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.39251899706301
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00581203} λ = -1.00581203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39251899706301))-π/2
    2×atan(0.248448674242237)-π/2
    2×0.243518059717447-π/2
    0.487036119434893-1.57079632675     		φ = -1.08376021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00581203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.628784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08376021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.094886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44554 KachelY 94585 -1.00581203 -1.08376021 -57.628784 -62.094886
    Oben rechts KachelX + 1 44555 KachelY 94585 -1.00576409 -1.08376021 -57.626038 -62.094886
    Unten links KachelX 44554 KachelY + 1 94586 -1.00581203 -1.08378264 -57.628784 -62.096171
    Unten rechts KachelX + 1 44555 KachelY + 1 94586 -1.00576409 -1.08378264 -57.626038 -62.096171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08376021--1.08378264) × R
    2.24300000000177e-05 × 6371000     		dl = 142.901530000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08376021--1.08378264) × R
    2.24300000000177e-05 × 6371000     		dr = 142.901530000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00581203--1.00576409) × cos(-1.08376021) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.468008693329592 × 6371000     		do = 142.94190148653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00581203--1.00576409) × cos(-1.08378264) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.467988871285656 × 6371000     		du = 142.935847324093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08376021)-sin(-1.08378264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468008693329592-0.467988871285656)×R²
    abs(-1.00576409--1.00581203)×1.9822043935247e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9822043935247e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9822043935247e-05×40589641000000     		ar = 20426.1838499376m²