Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44551 / 95741
↖ ↑ ↗
← S 63.544882°
W 57.637024°		 ← 136.07 m → S 63.544882°
W 57.634277°		 →
↑
136.02 m
↓
↑
136.02 m
↓
S 63.546105°
W 57.637024°		 ← 136.06 m →
18 507 m²		 S 63.546105°
W 57.634277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339900970458984 y=0.730449676513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339900970458984 × 217)
    floor (0.339900970458984 × 131072)
    floor (44551.5)     		tx = 44551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730449676513672 × 217)
    floor (0.730449676513672 × 131072)
    floor (95741.5)     		ty = 95741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44551 / 95741 ti = "17/44551/95741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44551/95741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44551 ÷ 217
    44551 ÷ 131072     		x = 0.339897155761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95741 ÷ 217
    95741 ÷ 131072     		y = 0.730445861816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339897155761719 × 2 - 1) × π
    -0.320205688476562 × 3.1415926535     		Λ = -1.00595584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730445861816406 × 2 - 1) × π
    -0.460891723632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.4479340530238
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00595584} λ = -1.00595584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4479340530238))-π/2
    2×atan(0.235055398805153)-π/2
    2×0.230864459274125-π/2
    0.46172891854825-1.57079632675     		φ = -1.10906741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00595584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.637024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10906741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.544882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44551 KachelY 95741 -1.00595584 -1.10906741 -57.637024 -63.544882
    Oben rechts KachelX + 1 44552 KachelY 95741 -1.00590790 -1.10906741 -57.634277 -63.544882
    Unten links KachelX 44551 KachelY + 1 95742 -1.00595584 -1.10908876 -57.637024 -63.546105
    Unten rechts KachelX + 1 44552 KachelY + 1 95742 -1.00590790 -1.10908876 -57.634277 -63.546105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10906741--1.10908876) × R
    2.134999999992e-05 × 6371000     		dl = 136.020849999491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10906741--1.10908876) × R
    2.134999999992e-05 × 6371000     		dr = 136.020849999491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00595584--1.00590790) × cos(-1.10906741) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.445496642891496 × 6371000     		do = 136.066141822562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00595584--1.00590790) × cos(-1.10908876) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.445477528484904 × 6371000     		du = 136.060303790784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10906741)-sin(-1.10908876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445496642891496-0.445477528484904)×R²
    abs(-1.00590790--1.00595584)×1.91144065918025e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91144065918025e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91144065918025e-05×40589641000000     		ar = 18507.4352204366m²