Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44550 / 95743
↖ ↑ ↗
← S 63.547329°
W 57.639771°		 ← 136.05 m → S 63.547329°
W 57.637024°		 →
↑
136.02 m
↓
↑
136.02 m
↓
S 63.548552°
W 57.639771°		 ← 136.05 m →
18 506 m²		 S 63.548552°
W 57.637024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339893341064453 y=0.730464935302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339893341064453 × 217)
    floor (0.339893341064453 × 131072)
    floor (44550.5)     		tx = 44550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730464935302734 × 217)
    floor (0.730464935302734 × 131072)
    floor (95743.5)     		ty = 95743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44550 / 95743 ti = "17/44550/95743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44550/95743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44550 ÷ 217
    44550 ÷ 131072     		x = 0.339889526367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95743 ÷ 217
    95743 ÷ 131072     		y = 0.730461120605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339889526367188 × 2 - 1) × π
    -0.320220947265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.00600378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730461120605469 × 2 - 1) × π
    -0.460922241210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.44802992682304
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00600378} λ = -1.00600378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44802992682304))-π/2
    2×atan(0.235032864231292)-π/2
    2×0.230843104462705-π/2
    0.46168620892541-1.57079632675     		φ = -1.10911012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00600378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.639771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10911012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.547329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44550 KachelY 95743 -1.00600378 -1.10911012 -57.639771 -63.547329
    Oben rechts KachelX + 1 44551 KachelY 95743 -1.00595584 -1.10911012 -57.637024 -63.547329
    Unten links KachelX 44550 KachelY + 1 95744 -1.00600378 -1.10913147 -57.639771 -63.548552
    Unten rechts KachelX + 1 44551 KachelY + 1 95744 -1.00595584 -1.10913147 -57.637024 -63.548552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10911012--1.10913147) × R
    2.134999999992e-05 × 6371000     		dl = 136.020849999491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10911012--1.10913147) × R
    2.134999999992e-05 × 6371000     		dr = 136.020849999491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00600378--1.00595584) × cos(-1.10911012) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.445458404922227 × 6371000     		do = 136.054462962502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00600378--1.00595584) × cos(-1.10913147) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.445439290109431 × 6371000     		du = 136.048624806659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10911012)-sin(-1.10913147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445458404922227-0.445439290109431)×R²
    abs(-1.00595584--1.00600378)×1.91148127955953e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91148127955953e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91148127955953e-05×40589641000000     		ar = 18505.8466435664m²