Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44550 / 94589
↖ ↑ ↗
← S 62.100027°
W 57.639771°		 ← 142.92 m → S 62.100027°
W 57.637024°		 →
↑
142.90 m
↓
↑
142.90 m
↓
S 62.101312°
W 57.639771°		 ← 142.91 m →
20 423 m²		 S 62.101312°
W 57.637024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339893341064453 y=0.721660614013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339893341064453 × 217)
    floor (0.339893341064453 × 131072)
    floor (44550.5)     		tx = 44550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721660614013672 × 217)
    floor (0.721660614013672 × 131072)
    floor (94589.5)     		ty = 94589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44550 / 94589 ti = "17/44550/94589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44550/94589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44550 ÷ 217
    44550 ÷ 131072     		x = 0.339889526367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94589 ÷ 217
    94589 ÷ 131072     		y = 0.721656799316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339889526367188 × 2 - 1) × π
    -0.320220947265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.00600378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721656799316406 × 2 - 1) × π
    -0.443313598632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.39271074466149
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00600378} λ = -1.00600378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39271074466149))-π/2
    2×atan(0.248401039372687)-π/2
    2×0.243473193747196-π/2
    0.486946387494392-1.57079632675     		φ = -1.08384994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00600378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.639771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08384994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.100027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44550 KachelY 94589 -1.00600378 -1.08384994 -57.639771 -62.100027
    Oben rechts KachelX + 1 44551 KachelY 94589 -1.00595584 -1.08384994 -57.637024 -62.100027
    Unten links KachelX 44550 KachelY + 1 94590 -1.00600378 -1.08387237 -57.639771 -62.101312
    Unten rechts KachelX + 1 44551 KachelY + 1 94590 -1.00595584 -1.08387237 -57.637024 -62.101312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08384994--1.08387237) × R
    2.24300000000177e-05 × 6371000     		dl = 142.901530000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08384994--1.08387237) × R
    2.24300000000177e-05 × 6371000     		dr = 142.901530000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00600378--1.00595584) × cos(-1.08384994) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.467929394903547 × 6371000     		do = 142.917681706074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00600378--1.00595584) × cos(-1.08387237) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.467909571917777 × 6371000     		du = 142.911627255976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08384994)-sin(-1.08387237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.467929394903547-0.467909571917777)×R²
    abs(-1.00595584--1.00600378)×1.98229857703014e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.98229857703014e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.98229857703014e-05×40589641000000     		ar = 20422.7227855837m²