Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4455 / 3941
↖ ↑ ↗
← N  6.795535°
E 15.776367°		 ← 4 852.16 m → N  6.795535°
E 15.820312°		 →
↑
4 852.41 m
↓
↑
4 852.41 m
↓
N  6.751896°
E 15.776367°		 ← 4 852.60 m →
23 545 750 m²		 N  6.751896°
E 15.820312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54388427734375 y=0.48114013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54388427734375 × 213)
    floor (0.54388427734375 × 8192)
    floor (4455.5)     		tx = 4455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.48114013671875 × 213)
    floor (0.48114013671875 × 8192)
    floor (3941.5)     		ty = 3941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4455 / 3941 ti = "13/4455/3941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4455/3941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4455 ÷ 213
    4455 ÷ 8192     		x = 0.5438232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3941 ÷ 213
    3941 ÷ 8192     		y = 0.4810791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5438232421875 × 2 - 1) × π
    0.087646484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.27534955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4810791015625 × 2 - 1) × π
    0.037841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.118883511057739
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27534955} λ = 0.27534955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.118883511057739))-π/2
    2×atan(1.12623871628992)-π/2
    2×0.844700393712463-π/2
    1.68940078742493-1.57079632675     		φ = 0.11860446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27534955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.776367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11860446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.795535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4455 KachelY 3941 0.27534955 0.11860446 15.776367 6.795535
    Oben rechts KachelX + 1 4456 KachelY 3941 0.27611654 0.11860446 15.820312 6.795535
    Unten links KachelX 4455 KachelY + 1 3942 0.27534955 0.11784282 15.776367 6.751896
    Unten rechts KachelX + 1 4456 KachelY + 1 3942 0.27611654 0.11784282 15.820312 6.751896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11860446-0.11784282) × R
    0.000761639999999994 × 6371000     		dl = 4852.40843999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11860446-0.11784282) × R
    0.000761639999999994 × 6371000     		dr = 4852.40843999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27534955-0.27611654) × cos(0.11860446) × R
    0.000766990000000023 × 0.992974732210316 × 6371000     		do = 4852.1643660854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27534955-0.27611654) × cos(0.11784282) × R
    0.000766990000000023 × 0.99306456645326 × 6371000     		du = 4852.60334051076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11860446)-sin(0.11784282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992974732210316-0.99306456645326)×R²
    abs(0.27611654-0.27534955)×8.98342429440646e-05×R²
    0.000766990000000023×8.98342429440646e-05×6371000²
    0.000766990000000023×8.98342429440646e-05×40589641000000     		ar = 23545749.502095m²