Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4455 / 3931
↖ ↑ ↗
← N  7.231699°
E 15.776367°		 ← 4 847.62 m → N  7.231699°
E 15.820312°		 →
↑
4 847.82 m
↓
↑
4 847.82 m
↓
N  7.188101°
E 15.776367°		 ← 4 848.09 m →
23 501 539 m²		 N  7.188101°
E 15.820312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54388427734375 y=0.47991943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54388427734375 × 213)
    floor (0.54388427734375 × 8192)
    floor (4455.5)     		tx = 4455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.47991943359375 × 213)
    floor (0.47991943359375 × 8192)
    floor (3931.5)     		ty = 3931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4455 / 3931 ti = "13/4455/3931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4455/3931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4455 ÷ 213
    4455 ÷ 8192     		x = 0.5438232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3931 ÷ 213
    3931 ÷ 8192     		y = 0.4798583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5438232421875 × 2 - 1) × π
    0.087646484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.27534955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4798583984375 × 2 - 1) × π
    0.040283203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.126553414996948
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27534955} λ = 0.27534955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.126553414996948))-π/2
    2×atan(1.13491007077503)-π/2
    2×0.848506639882268-π/2
    1.69701327976454-1.57079632675     		φ = 0.12621695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27534955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.776367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12621695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.231699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4455 KachelY 3931 0.27534955 0.12621695 15.776367 7.231699
    Oben rechts KachelX + 1 4456 KachelY 3931 0.27611654 0.12621695 15.820312 7.231699
    Unten links KachelX 4455 KachelY + 1 3932 0.27534955 0.12545603 15.776367 7.188101
    Unten rechts KachelX + 1 4456 KachelY + 1 3932 0.27611654 0.12545603 15.820312 7.188101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12621695-0.12545603) × R
    0.000760919999999998 × 6371000     		dl = 4847.82131999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12621695-0.12545603) × R
    0.000760919999999998 × 6371000     		dr = 4847.82131999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27534955-0.27611654) × cos(0.12621695) × R
    0.000766990000000023 × 0.992045209643925 × 6371000     		do = 4847.62226030183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27534955-0.27611654) × cos(0.12545603) × R
    0.000766990000000023 × 0.992140708642255 × 6371000     		du = 4848.08891551637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12621695)-sin(0.12545603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992045209643925-0.992140708642255)×R²
    abs(0.27611654-0.27534955)×9.549899833039e-05×R²
    0.000766990000000023×9.549899833039e-05×6371000²
    0.000766990000000023×9.549899833039e-05×40589641000000     		ar = 23501538.8092948m²