Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 44544 / 94720
↖ ↑ ↗
← S 62.267923°
W 57.656250°		 ← 142.13 m → S 62.267923°
W 57.653503°		 →
↑
142.07 m
↓
↑
142.07 m
↓
S 62.269200°
W 57.656250°		 ← 142.12 m →
20 192 m²		 S 62.269200°
W 57.653503°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339847564697266 y=0.722660064697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339847564697266 × 217)
    floor (0.339847564697266 × 131072)
    floor (44544.5)     		tx = 44544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722660064697266 × 217)
    floor (0.722660064697266 × 131072)
    floor (94720.5)     		ty = 94720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44544 / 94720 ti = "17/44544/94720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44544/94720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44544 ÷ 217
    44544 ÷ 131072     		x = 0.33984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94720 ÷ 217
    94720 ÷ 131072     		y = 0.72265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33984375 × 2 - 1) × π
    -0.3203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.00629140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72265625 × 2 - 1) × π
    -0.4453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.39899047851172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00629140} λ = -1.00629140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39899047851172))-π/2
    2×atan(0.246846034575576)-π/2
    2×0.242008029276541-π/2
    0.484016058553082-1.57079632675     		φ = -1.08678027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00629140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08678027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.267923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44544 KachelY 94720 -1.00629140 -1.08678027 -57.656250 -62.267923
    Oben rechts KachelX + 1 44545 KachelY 94720 -1.00624346 -1.08678027 -57.653503 -62.267923
    Unten links KachelX 44544 KachelY + 1 94721 -1.00629140 -1.08680257 -57.656250 -62.269200
    Unten rechts KachelX + 1 44545 KachelY + 1 94721 -1.00624346 -1.08680257 -57.653503 -62.269200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08678027--1.08680257) × R
    2.22999999999196e-05 × 6371000     		dl = 142.073299999488m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08678027--1.08680257) × R
    2.22999999999196e-05 × 6371000     		dr = 142.073299999488m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00629140--1.00624346) × cos(-1.08678027) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.46533766400578 × 6371000     		do = 142.126100378744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00629140--1.00624346) × cos(-1.08680257) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.465317925418752 × 6371000     		du = 142.120071706194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08678027)-sin(-1.08680257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46533766400578-0.465317925418752)×R²
    abs(-1.00624346--1.00629140)×1.97385870285283e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97385870285283e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97385870285283e-05×40589641000000     		ar = 20191.8958408727m²