Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44541 / 95748
↖ ↑ ↗
← S 63.553446°
W 57.664490°		 ← 136.03 m → S 63.553446°
W 57.661743°		 →
↑
135.96 m
↓
↑
135.96 m
↓
S 63.554668°
W 57.664490°		 ← 136.02 m →
18 493 m²		 S 63.554668°
W 57.661743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339824676513672 y=0.730503082275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339824676513672 × 217)
    floor (0.339824676513672 × 131072)
    floor (44541.5)     		tx = 44541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730503082275391 × 217)
    floor (0.730503082275391 × 131072)
    floor (95748.5)     		ty = 95748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44541 / 95748 ti = "17/44541/95748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44541/95748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44541 ÷ 217
    44541 ÷ 131072     		x = 0.339820861816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95748 ÷ 217
    95748 ÷ 131072     		y = 0.730499267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339820861816406 × 2 - 1) × π
    -0.320358276367188 × 3.1415926535     		Λ = -1.00643521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730499267578125 × 2 - 1) × π
    -0.46099853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44826961132114
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00643521} λ = -1.00643521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44826961132114))-π/2
    2×atan(0.234976537247814)-π/2
    2×0.230789725452984-π/2
    0.461579450905968-1.57079632675     		φ = -1.10921688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00643521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.664490°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10921688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.553446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44541 KachelY 95748 -1.00643521 -1.10921688 -57.664490 -63.553446
    Oben rechts KachelX + 1 44542 KachelY 95748 -1.00638727 -1.10921688 -57.661743 -63.553446
    Unten links KachelX 44541 KachelY + 1 95749 -1.00643521 -1.10923822 -57.664490 -63.554668
    Unten rechts KachelX + 1 44542 KachelY + 1 95749 -1.00638727 -1.10923822 -57.661743 -63.554668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10921688--1.10923822) × R
    2.13399999999808e-05 × 6371000     		dl = 135.957139999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10921688--1.10923822) × R
    2.13399999999808e-05 × 6371000     		dr = 135.957139999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00643521--1.00638727) × cos(-1.10921688) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.445362819874422 × 6371000     		do = 136.025268828543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00643521--1.00638727) × cos(-1.10923822) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.445343713000009 × 6371000     		du = 136.019433097286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10921688)-sin(-1.10923822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445362819874422-0.445343713000009)×R²
    abs(-1.00638727--1.00643521)×1.91068744128664e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91068744128664e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91068744128664e-05×40589641000000     		ar = 18493.2098136872m²