Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4454 / 3929
↖ ↑ ↗
← N  7.318882°
E 15.732422°		 ← 4 846.68 m → N  7.318882°
E 15.776367°		 →
↑
4 846.87 m
↓
↑
4 846.87 m
↓
N  7.275293°
E 15.732422°		 ← 4 847.15 m →
23 492 356 m²		 N  7.275293°
E 15.776367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54376220703125 y=0.47967529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54376220703125 × 213)
    floor (0.54376220703125 × 8192)
    floor (4454.5)     		tx = 4454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.47967529296875 × 213)
    floor (0.47967529296875 × 8192)
    floor (3929.5)     		ty = 3929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4454 / 3929 ti = "13/4454/3929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4454/3929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4454 ÷ 213
    4454 ÷ 8192     		x = 0.543701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3929 ÷ 213
    3929 ÷ 8192     		y = 0.4796142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543701171875 × 2 - 1) × π
    0.08740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.27458256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4796142578125 × 2 - 1) × π
    0.040771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.12808739578479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27458256} λ = 0.27458256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.12808739578479))-π/2
    2×atan(1.13665233697932)-π/2
    2×0.849267455275113-π/2
    1.69853491055023-1.57079632675     		φ = 0.12773858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27458256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.732422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12773858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.318882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4454 KachelY 3929 0.27458256 0.12773858 15.732422 7.318882
    Oben rechts KachelX + 1 4455 KachelY 3929 0.27534955 0.12773858 15.776367 7.318882
    Unten links KachelX 4454 KachelY + 1 3930 0.27458256 0.12697781 15.732422 7.275293
    Unten rechts KachelX + 1 4455 KachelY + 1 3930 0.27534955 0.12697781 15.776367 7.275293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12773858-0.12697781) × R
    0.000760769999999994 × 6371000     		dl = 4846.86566999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12773858-0.12697781) × R
    0.000760769999999994 × 6371000     		dr = 4846.86566999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27458256-0.27534955) × cos(0.12773858) × R
    0.000766990000000023 × 0.991852515274919 × 6371000     		do = 4846.68066056066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27458256-0.27534955) × cos(0.12697781) × R
    0.000766990000000023 × 0.991949143850407 × 6371000     		du = 4847.1528354464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12773858)-sin(0.12697781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991852515274919-0.991949143850407)×R²
    abs(0.27534955-0.27458256)×9.66285754882001e-05×R²
    0.000766990000000023×9.66285754882001e-05×6371000²
    0.000766990000000023×9.66285754882001e-05×40589641000000     		ar = 23492355.5243043m²