Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4454 / 13018
↖ ↑ ↗
← S 72.141418°
W 82.133789°		 ← 749.28 m → S 72.141418°
W 82.111816°		 →
↑
749.10 m
↓
↑
749.10 m
↓
S 72.148155°
W 82.133789°		 ← 749 m →
561 183 m²		 S 72.148155°
W 82.111816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271881103515625 y=0.794586181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271881103515625 × 214)
    floor (0.271881103515625 × 16384)
    floor (4454.5)     		tx = 4454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.794586181640625 × 214)
    floor (0.794586181640625 × 16384)
    floor (13018.5)     		ty = 13018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4454 / 13018 ti = "14/4454/13018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4454/13018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4454 ÷ 214
    4454 ÷ 16384     		x = 0.2718505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13018 ÷ 214
    13018 ÷ 16384     		y = 0.7945556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2718505859375 × 2 - 1) × π
    -0.456298828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.43350505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7945556640625 × 2 - 1) × π
    -0.589111328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.85074782053113
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43350505} λ = -1.43350505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85074782053113))-π/2
    2×atan(0.157119625087751)-π/2
    2×0.155845529126747-π/2
    0.311691058253495-1.57079632675     		φ = -1.25910527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43350505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.133789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25910527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.141418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4454 KachelY 13018 -1.43350505 -1.25910527 -82.133789 -72.141418
    Oben rechts KachelX + 1 4455 KachelY 13018 -1.43312155 -1.25910527 -82.111816 -72.141418
    Unten links KachelX 4454 KachelY + 1 13019 -1.43350505 -1.25922285 -82.133789 -72.148155
    Unten rechts KachelX + 1 4455 KachelY + 1 13019 -1.43312155 -1.25922285 -82.111816 -72.148155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25910527--1.25922285) × R
    0.000117579999999951 × 6371000     		dl = 749.102179999685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25910527--1.25922285) × R
    0.000117579999999951 × 6371000     		dr = 749.102179999685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43350505--1.43312155) × cos(-1.25910527) × R
    0.00038349999999987 × 0.306668649646365 × 6371000     		do = 749.276918304742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43350505--1.43312155) × cos(-1.25922285) × R
    0.00038349999999987 × 0.306556732961866 × 6371000     		du = 749.003474675715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25910527)-sin(-1.25922285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306668649646365-0.306556732961866)×R²
    abs(-1.43312155--1.43350505)×0.000111916684498781×R²
    0.00038349999999987×0.000111916684498781×6371000²
    0.00038349999999987×0.000111916684498781×40589641000000     		ar = 561182.55496129m²