Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44539 / 95749
↖ ↑ ↗
← S 63.554668°
W 57.669983°		 ← 136.02 m → S 63.554668°
W 57.667236°		 →
↑
136.02 m
↓
↑
136.02 m
↓
S 63.555892°
W 57.669983°		 ← 136.01 m →
18 501 m²		 S 63.555892°
W 57.667236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339809417724609 y=0.730510711669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339809417724609 × 217)
    floor (0.339809417724609 × 131072)
    floor (44539.5)     		tx = 44539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730510711669922 × 217)
    floor (0.730510711669922 × 131072)
    floor (95749.5)     		ty = 95749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44539 / 95749 ti = "17/44539/95749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44539/95749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44539 ÷ 217
    44539 ÷ 131072     		x = 0.339805603027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95749 ÷ 217
    95749 ÷ 131072     		y = 0.730506896972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339805603027344 × 2 - 1) × π
    -0.320388793945312 × 3.1415926535     		Λ = -1.00653108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730506896972656 × 2 - 1) × π
    -0.461013793945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.44831754822076
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00653108} λ = -1.00653108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44831754822076))-π/2
    2×atan(0.234965273471112)-π/2
    2×0.230779051025577-π/2
    0.461558102051155-1.57079632675     		φ = -1.10923822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00653108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.669983°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10923822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.554668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44539 KachelY 95749 -1.00653108 -1.10923822 -57.669983 -63.554668
    Oben rechts KachelX + 1 44540 KachelY 95749 -1.00648314 -1.10923822 -57.667236 -63.554668
    Unten links KachelX 44539 KachelY + 1 95750 -1.00653108 -1.10925957 -57.669983 -63.555892
    Unten rechts KachelX + 1 44540 KachelY + 1 95750 -1.00648314 -1.10925957 -57.667236 -63.555892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10923822--1.10925957) × R
    2.13500000001421e-05 × 6371000     		dl = 136.020850000905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10923822--1.10925957) × R
    2.13500000001421e-05 × 6371000     		dr = 136.020850000905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00653108--1.00648314) × cos(-1.10923822) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.445343713000009 × 6371000     		do = 136.019433097286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00653108--1.00648314) × cos(-1.10925957) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.445324596969096 × 6371000     		du = 136.013594569399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10923822)-sin(-1.10925957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445343713000009-0.445324596969096)×R²
    abs(-1.00648314--1.00653108)×1.91160309125915e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91160309125915e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91160309125915e-05×40589641000000     		ar = 18501.0818265662m²