Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44539 / 95745
↖ ↑ ↗
← S 63.549775°
W 57.669983°		 ← 136.04 m → S 63.549775°
W 57.667236°		 →
↑
136.08 m
↓
↑
136.08 m
↓
S 63.550999°
W 57.669983°		 ← 136.04 m →
18 513 m²		 S 63.550999°
W 57.667236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339809417724609 y=0.730480194091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339809417724609 × 217)
    floor (0.339809417724609 × 131072)
    floor (44539.5)     		tx = 44539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730480194091797 × 217)
    floor (0.730480194091797 × 131072)
    floor (95745.5)     		ty = 95745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44539 / 95745 ti = "17/44539/95745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44539/95745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44539 ÷ 217
    44539 ÷ 131072     		x = 0.339805603027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95745 ÷ 217
    95745 ÷ 131072     		y = 0.730476379394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339805603027344 × 2 - 1) × π
    -0.320388793945312 × 3.1415926535     		Λ = -1.00653108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730476379394531 × 2 - 1) × π
    -0.460952758789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.44812580062228
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00653108} λ = -1.00653108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44812580062228))-π/2
    2×atan(0.235010331817803)-π/2
    2×0.230821751484219-π/2
    0.461643502968439-1.57079632675     		φ = -1.10915282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00653108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.669983°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10915282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.549775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44539 KachelY 95745 -1.00653108 -1.10915282 -57.669983 -63.549775
    Oben rechts KachelX + 1 44540 KachelY 95745 -1.00648314 -1.10915282 -57.667236 -63.549775
    Unten links KachelX 44539 KachelY + 1 95746 -1.00653108 -1.10917418 -57.669983 -63.550999
    Unten rechts KachelX + 1 44540 KachelY + 1 95746 -1.00648314 -1.10917418 -57.667236 -63.550999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10915282--1.10917418) × R
    2.13599999998593e-05 × 6371000     		dl = 136.084559999103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10915282--1.10917418) × R
    2.13599999998593e-05 × 6371000     		dr = 136.084559999103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00653108--1.00648314) × cos(-1.10915282) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.445420175093594 × 6371000     		do = 136.042786588801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00653108--1.00648314) × cos(-1.10917418) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.445401050921413 × 6371000     		du = 136.036945574361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10915282)-sin(-1.10917418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445420175093594-0.445401050921413)×R²
    abs(-1.00648314--1.00653108)×1.91241721809732e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91241721809732e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91241721809732e-05×40589641000000     		ar = 18512.9253187789m²