Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44536 / 95736
↖ ↑ ↗
← S 63.538763°
W 57.678223°		 ← 136.07 m → S 63.538763°
W 57.675476°		 →
↑
136.08 m
↓
↑
136.08 m
↓
S 63.539987°
W 57.678223°		 ← 136.06 m →
18 516 m²		 S 63.539987°
W 57.675476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339786529541016 y=0.730411529541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339786529541016 × 217)
    floor (0.339786529541016 × 131072)
    floor (44536.5)     		tx = 44536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730411529541016 × 217)
    floor (0.730411529541016 × 131072)
    floor (95736.5)     		ty = 95736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44536 / 95736 ti = "17/44536/95736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44536/95736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44536 ÷ 217
    44536 ÷ 131072     		x = 0.33978271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95736 ÷ 217
    95736 ÷ 131072     		y = 0.73040771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33978271484375 × 2 - 1) × π
    -0.3204345703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.00667489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73040771484375 × 2 - 1) × π
    -0.4608154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.4476943685257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00667489} λ = -1.00667489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4476943685257))-π/2
    2×atan(0.235111744692789)-π/2
    2×0.23091785432254-π/2
    0.461835708645079-1.57079632675     		φ = -1.10896062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00667489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.678223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10896062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.538763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44536 KachelY 95736 -1.00667489 -1.10896062 -57.678223 -63.538763
    Oben rechts KachelX + 1 44537 KachelY 95736 -1.00662696 -1.10896062 -57.675476 -63.538763
    Unten links KachelX 44536 KachelY + 1 95737 -1.00667489 -1.10898198 -57.678223 -63.539987
    Unten rechts KachelX + 1 44537 KachelY + 1 95737 -1.00662696 -1.10898198 -57.675476 -63.539987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10896062--1.10898198) × R
    2.13600000000813e-05 × 6371000     		dl = 136.084560000518m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10896062--1.10898198) × R
    2.13600000000813e-05 × 6371000     		dr = 136.084560000518m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00667489--1.00662696) × cos(-1.10896062) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.445592247687712 × 6371000     		do = 136.066953306266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00667489--1.00662696) × cos(-1.10898198) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.445573125344469 × 6371000     		du = 136.061114068715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10896062)-sin(-1.10898198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445592247687712-0.445573125344469)×R²
    abs(-1.00662696--1.00667489)×1.91223432427501e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.91223432427501e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.91223432427501e-05×40589641000000     		ar = 18516.2141569937m²