Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 44535 / 95737
↖ ↑ ↗
← S 63.539987°
W 57.680969°		 ← 136.09 m → S 63.539987°
W 57.678223°		 →
↑
136.08 m
↓
↑
136.08 m
↓
S 63.541211°
W 57.680969°		 ← 136.08 m →
18 519 m²		 S 63.541211°
W 57.678223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339778900146484 y=0.730419158935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339778900146484 × 217)
    floor (0.339778900146484 × 131072)
    floor (44535.5)     		tx = 44535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730419158935547 × 217)
    floor (0.730419158935547 × 131072)
    floor (95737.5)     		ty = 95737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44535 / 95737 ti = "17/44535/95737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44535/95737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44535 ÷ 217
    44535 ÷ 131072     		x = 0.339775085449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95737 ÷ 217
    95737 ÷ 131072     		y = 0.730415344238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339775085449219 × 2 - 1) × π
    -0.320449829101562 × 3.1415926535     		Λ = -1.00672283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730415344238281 × 2 - 1) × π
    -0.460830688476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.44774230542532
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00672283} λ = -1.00672283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44774230542532))-π/2
    2×atan(0.235100474434817)-π/2
    2×0.230907174396242-π/2
    0.461814348792483-1.57079632675     		φ = -1.10898198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00672283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.680969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10898198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.539987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44535 KachelY 95737 -1.00672283 -1.10898198 -57.680969 -63.539987
    Oben rechts KachelX + 1 44536 KachelY 95737 -1.00667489 -1.10898198 -57.678223 -63.539987
    Unten links KachelX 44535 KachelY + 1 95738 -1.00672283 -1.10900334 -57.680969 -63.541211
    Unten rechts KachelX + 1 44536 KachelY + 1 95738 -1.00667489 -1.10900334 -57.678223 -63.541211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10898198--1.10900334) × R
    2.13599999998593e-05 × 6371000     		dl = 136.084559999103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10898198--1.10900334) × R
    2.13599999998593e-05 × 6371000     		dr = 136.084559999103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00672283--1.00667489) × cos(-1.10898198) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.445573125344469 × 6371000     		do = 136.089501532358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00672283--1.00667489) × cos(-1.10900334) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.445554002797934 × 6371000     		du = 136.083661014432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10898198)-sin(-1.10900334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445573125344469-0.445554002797934)×R²
    abs(-1.00667489--1.00672283)×1.91225465351885e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91225465351885e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91225465351885e-05×40589641000000     		ar = 18519.2825349508m²