Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44533 / 95699
↖ ↑ ↗
← S 63.493445°
W 57.686462°		 ← 136.28 m → S 63.493445°
W 57.683716°		 →
↑
136.28 m
↓
↑
136.28 m
↓
S 63.494670°
W 57.686462°		 ← 136.28 m →
18 572 m²		 S 63.494670°
W 57.683716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339763641357422 y=0.730129241943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339763641357422 × 217)
    floor (0.339763641357422 × 131072)
    floor (44533.5)     		tx = 44533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730129241943359 × 217)
    floor (0.730129241943359 × 131072)
    floor (95699.5)     		ty = 95699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44533 / 95699 ti = "17/44533/95699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44533/95699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44533 ÷ 217
    44533 ÷ 131072     		x = 0.339759826660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95699 ÷ 217
    95699 ÷ 131072     		y = 0.730125427246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339759826660156 × 2 - 1) × π
    -0.320480346679688 × 3.1415926535     		Λ = -1.00681870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730125427246094 × 2 - 1) × π
    -0.460250854492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.44592070323975
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00681870} λ = -1.00681870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44592070323975))-π/2
    2×atan(0.235529124269082)-π/2
    2×0.231313333931397-π/2
    0.462626667862794-1.57079632675     		φ = -1.10816966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00681870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.686462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10816966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.493445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44533 KachelY 95699 -1.00681870 -1.10816966 -57.686462 -63.493445
    Oben rechts KachelX + 1 44534 KachelY 95699 -1.00677077 -1.10816966 -57.683716 -63.493445
    Unten links KachelX 44533 KachelY + 1 95700 -1.00681870 -1.10819105 -57.686462 -63.494670
    Unten rechts KachelX + 1 44534 KachelY + 1 95700 -1.00677077 -1.10819105 -57.683716 -63.494670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10816966--1.10819105) × R
    2.1390000000121e-05 × 6371000     		dl = 136.275690000771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10816966--1.10819105) × R
    2.1390000000121e-05 × 6371000     		dr = 136.275690000771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00681870--1.00677077) × cos(-1.10816966) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.446300204118702 × 6371000     		do = 136.283136319185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00681870--1.00677077) × cos(-1.10819105) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.446281062462732 × 6371000     		du = 136.27729118426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10816966)-sin(-1.10819105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446300204118702-0.446281062462732)×R²
    abs(-1.00677077--1.00681870)×1.91416559698343e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.91416559698343e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.91416559698343e-05×40589641000000     		ar = 18571.6801631651m²