Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4453 / 3921
↖ ↑ ↗
← N  7.667442°
E 15.688477°		 ← 4 842.80 m → N  7.667442°
E 15.732422°		 →
↑
4 843.04 m
↓
↑
4 843.04 m
↓
N  7.623887°
E 15.688477°		 ← 4 843.30 m →
23 455 106 m²		 N  7.623887°
E 15.732422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54364013671875 y=0.47869873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54364013671875 × 213)
    floor (0.54364013671875 × 8192)
    floor (4453.5)     		tx = 4453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.47869873046875 × 213)
    floor (0.47869873046875 × 8192)
    floor (3921.5)     		ty = 3921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4453 / 3921 ti = "13/4453/3921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4453/3921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4453 ÷ 213
    4453 ÷ 8192     		x = 0.5435791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3921 ÷ 213
    3921 ÷ 8192     		y = 0.4786376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5435791015625 × 2 - 1) × π
    0.087158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27381557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4786376953125 × 2 - 1) × π
    0.042724609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.134223318936157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27381557} λ = 0.27381557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.134223318936157))-π/2
    2×atan(1.14364818942613)-π/2
    2×0.85230921293433-π/2
    1.70461842586866-1.57079632675     		φ = 0.13382210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27381557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.688477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13382210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.667442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4453 KachelY 3921 0.27381557 0.13382210 15.688477 7.667442
    Oben rechts KachelX + 1 4454 KachelY 3921 0.27458256 0.13382210 15.732422 7.667442
    Unten links KachelX 4453 KachelY + 1 3922 0.27381557 0.13306193 15.688477 7.623887
    Unten rechts KachelX + 1 4454 KachelY + 1 3922 0.27458256 0.13306193 15.732422 7.623887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13382210-0.13306193) × R
    0.000760170000000004 × 6371000     		dl = 4843.04307000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13382210-0.13306193) × R
    0.000760170000000004 × 6371000     		dr = 4843.04307000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27381557-0.27458256) × cos(0.13382210) × R
    0.000766989999999967 × 0.991059177683065 × 6371000     		do = 4842.80402174101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27381557-0.27458256) × cos(0.13306193) × R
    0.000766989999999967 × 0.991160315516052 × 6371000     		du = 4843.29823108327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13382210)-sin(0.13306193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991059177683065-0.991160315516052)×R²
    abs(0.27458256-0.27381557)×0.000101137832987264×R²
    0.000766989999999967×0.000101137832987264×6371000²
    0.000766989999999967×0.000101137832987264×40589641000000     		ar = 23455106.3249035m²