Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4451 / 5989
↖ ↑ ↗
← S 63.646259°
E 15.600586°		 ← 2 169.17 m → S 63.646259°
E 15.644531°		 →
↑
2 168.43 m
↓
↑
2 168.43 m
↓
S 63.665760°
E 15.600586°		 ← 2 167.68 m →
4 702 090 m²		 S 63.665760°
E 15.644531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54339599609375 y=0.73114013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54339599609375 × 213)
    floor (0.54339599609375 × 8192)
    floor (4451.5)     		tx = 4451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73114013671875 × 213)
    floor (0.73114013671875 × 8192)
    floor (5989.5)     		ty = 5989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4451 / 5989 ti = "13/4451/5989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4451/5989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4451 ÷ 213
    4451 ÷ 8192     		x = 0.5433349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5989 ÷ 213
    5989 ÷ 8192     		y = 0.7310791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5433349609375 × 2 - 1) × π
    0.086669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.27228159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7310791015625 × 2 - 1) × π
    -0.462158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.45191281569226
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27228159} λ = 0.27228159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45191281569226))-π/2
    2×atan(0.234122027222685)-π/2
    2×0.22997977364211-π/2
    0.459959547284219-1.57079632675     		φ = -1.11083678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27228159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.600586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11083678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.646259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4451 KachelY 5989 0.27228159 -1.11083678 15.600586 -63.646259
    Oben rechts KachelX + 1 4452 KachelY 5989 0.27304858 -1.11083678 15.644531 -63.646259
    Unten links KachelX 4451 KachelY + 1 5990 0.27228159 -1.11117714 15.600586 -63.665760
    Unten rechts KachelX + 1 4452 KachelY + 1 5990 0.27304858 -1.11117714 15.644531 -63.665760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11083678--1.11117714) × R
    0.000340359999999817 × 6371000     		dl = 2168.43355999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11083678--1.11117714) × R
    0.000340359999999817 × 6371000     		dr = 2168.43355999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27228159-0.27304858) × cos(-1.11083678) × R
    0.000766989999999967 × 0.443911858406812 × 6371000     		do = 2169.17231745622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27228159-0.27304858) × cos(-1.11117714) × R
    0.000766989999999967 × 0.443606846159856 × 6371000     		du = 2167.68187715811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11083678)-sin(-1.11117714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443911858406812-0.443606846159856)×R²
    abs(0.27304858-0.27228159)×0.000305012246955727×R²
    0.000766989999999967×0.000305012246955727×6371000²
    0.000766989999999967×0.000305012246955727×40589641000000     		ar = 4702090.13560397m²