Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4450 / 5988
↖ ↑ ↗
← S 63.626745°
E 15.556641°		 ← 2 170.66 m → S 63.626745°
E 15.600586°		 →
↑
2 169.90 m
↓
↑
2 169.90 m
↓
S 63.646259°
E 15.556641°		 ← 2 169.17 m →
4 708 503 m²		 S 63.646259°
E 15.600586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54327392578125 y=0.73101806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54327392578125 × 213)
    floor (0.54327392578125 × 8192)
    floor (4450.5)     		tx = 4450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73101806640625 × 213)
    floor (0.73101806640625 × 8192)
    floor (5988.5)     		ty = 5988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4450 / 5988 ti = "13/4450/5988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4450/5988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4450 ÷ 213
    4450 ÷ 8192     		x = 0.543212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5988 ÷ 213
    5988 ÷ 8192     		y = 0.73095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543212890625 × 2 - 1) × π
    0.08642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27151460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73095703125 × 2 - 1) × π
    -0.4619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45114582529834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27151460} λ = 0.27151460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45114582529834))-π/2
    2×atan(0.234301665450161)-π/2
    2×0.230150070218353-π/2
    0.460300140436706-1.57079632675     		φ = -1.11049619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27151460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.556641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11049619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.626745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4450 KachelY 5988 0.27151460 -1.11049619 15.556641 -63.626745
    Oben rechts KachelX + 1 4451 KachelY 5988 0.27228159 -1.11049619 15.600586 -63.626745
    Unten links KachelX 4450 KachelY + 1 5989 0.27151460 -1.11083678 15.556641 -63.646259
    Unten rechts KachelX + 1 4451 KachelY + 1 5989 0.27228159 -1.11083678 15.600586 -63.646259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11049619--1.11083678) × R
    0.000340589999999974 × 6371000     		dl = 2169.89888999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11049619--1.11083678) × R
    0.000340589999999974 × 6371000     		dr = 2169.89888999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27151460-0.27228159) × cos(-1.11049619) × R
    0.000766990000000023 × 0.444217025290261 × 6371000     		do = 2170.66351338468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27151460-0.27228159) × cos(-1.11083678) × R
    0.000766990000000023 × 0.443911858406812 × 6371000     		du = 2169.17231745638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11049619)-sin(-1.11083678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444217025290261-0.443911858406812)×R²
    abs(0.27228159-0.27151460)×0.000305166883448837×R²
    0.000766990000000023×0.000305166883448837×6371000²
    0.000766990000000023×0.000305166883448837×40589641000000     		ar = 4708502.52157768m²