Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4450 / 13023
↖ ↑ ↗
← S 72.175079°
W 82.221680°		 ← 747.91 m → S 72.175079°
W 82.199707°		 →
↑
747.76 m
↓
↑
747.76 m
↓
S 72.181803°
W 82.221680°		 ← 747.64 m →
559 159 m²		 S 72.181803°
W 82.199707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271636962890625 y=0.794891357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271636962890625 × 214)
    floor (0.271636962890625 × 16384)
    floor (4450.5)     		tx = 4450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.794891357421875 × 214)
    floor (0.794891357421875 × 16384)
    floor (13023.5)     		ty = 13023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4450 / 13023 ti = "14/4450/13023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4450/13023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4450 ÷ 214
    4450 ÷ 16384     		x = 0.2716064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13023 ÷ 214
    13023 ÷ 16384     		y = 0.79486083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2716064453125 × 2 - 1) × π
    -0.456787109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.43503903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79486083984375 × 2 - 1) × π
    -0.5897216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.85266529651593
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43503903} λ = -1.43503903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85266529651593))-π/2
    2×atan(0.156818640637351)-π/2
    2×0.155551782394753-π/2
    0.311103564789505-1.57079632675     		φ = -1.25969276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43503903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.221680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25969276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.175079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4450 KachelY 13023 -1.43503903 -1.25969276 -82.221680 -72.175079
    Oben rechts KachelX + 1 4451 KachelY 13023 -1.43465553 -1.25969276 -82.199707 -72.175079
    Unten links KachelX 4450 KachelY + 1 13024 -1.43503903 -1.25981013 -82.221680 -72.181803
    Unten rechts KachelX + 1 4451 KachelY + 1 13024 -1.43465553 -1.25981013 -82.199707 -72.181803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25969276--1.25981013) × R
    0.000117369999999895 × 6371000     		dl = 747.764269999328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25969276--1.25981013) × R
    0.000117369999999895 × 6371000     		dr = 747.764269999328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43503903--1.43465553) × cos(-1.25969276) × R
    0.000383500000000092 × 0.306109414176227 × 6371000     		do = 747.910550304551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43503903--1.43465553) × cos(-1.25981013) × R
    0.000383500000000092 × 0.305997676257917 × 6371000     		du = 747.637543451108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25969276)-sin(-1.25981013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306109414176227-0.305997676257917)×R²
    abs(-1.43465553--1.43503903)×0.000111737918310317×R²
    0.000383500000000092×0.000111737918310317×6371000²
    0.000383500000000092×0.000111737918310317×40589641000000     		ar = 559158.714928908m²