Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 445 / 573
↖ ↑ ↗
← N 78.116408°
W140.888672°		 ← 2 012.49 m → N 78.116408°
W140.800781°		 →
↑
2 014 m
↓
↑
2 014 m
↓
N 78.098296°
W140.888672°		 ← 2 015.52 m →
4 056 204 m²		 N 78.098296°
W140.800781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1087646484375 y=0.1400146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1087646484375 × 212)
    floor (0.1087646484375 × 4096)
    floor (445.5)     		tx = 445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1400146484375 × 212)
    floor (0.1400146484375 × 4096)
    floor (573.5)     		ty = 573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 445 / 573 ti = "12/445/573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/445/573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 445 ÷ 212
    445 ÷ 4096     		x = 0.108642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 573 ÷ 212
    573 ÷ 4096     		y = 0.139892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108642578125 × 2 - 1) × π
    -0.78271484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.45897120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139892578125 × 2 - 1) × π
    0.72021484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.26262166206665
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45897120} λ = -2.45897120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26262166206665))-π/2
    2×atan(9.6082457497352)-π/2
    2×1.46709242288946-π/2
    2.93418484577891-1.57079632675     		φ = 1.36338852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45897120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.888672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36338852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.116408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 445 KachelY 573 -2.45897120 1.36338852 -140.888672 78.116408
    Oben rechts KachelX + 1 446 KachelY 573 -2.45743722 1.36338852 -140.800781 78.116408
    Unten links KachelX 445 KachelY + 1 574 -2.45897120 1.36307240 -140.888672 78.098296
    Unten rechts KachelX + 1 446 KachelY + 1 574 -2.45743722 1.36307240 -140.800781 78.098296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36338852-1.36307240) × R
    0.00031611999999992 × 6371000     		dl = 2014.00051999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36338852-1.36307240) × R
    0.00031611999999992 × 6371000     		dr = 2014.00051999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45897120--2.45743722) × cos(1.36338852) × R
    0.00153398000000005 × 0.205923957224646 × 6371000     		do = 2012.49207045702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45897120--2.45743722) × cos(1.36307240) × R
    0.00153398000000005 × 0.206233291845377 × 6371000     		du = 2015.51519355415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36338852)-sin(1.36307240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205923957224646-0.206233291845377)×R²
    abs(-2.45743722--2.45897120)×0.000309334620730711×R²
    0.00153398000000005×0.000309334620730711×6371000²
    0.00153398000000005×0.000309334620730711×40589641000000     		ar = 4056204.39591489m²